Discussione di un problema geometrico - arco e quadrilatero con variabile

Ok! Veniamo a noi: disegna tutto qunto e segui le mie indicazioni.

Congiungi il punto P con il centro della circonferenza, hai il raggio .

Chiamiamo .

Calcoliamo l'area del quadrilatero OAPB come somma delle aree del triangolo APO e del triangolo PBO. Ci serve un po' di trigonometria! Il teorema che dobbiamo usare ci fornisce la formula goniometrica per l'area del triangolo qualsiasi, e dice che

l'area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto di due suoi lati per il seno dell'angolo tra essi compreso

Guardiamo il triangolo APO, conosciamo i suoi due lati AO=OP=r=2. Il seno dell'angolo AOP lo troviamo guardando il triangolo rettangolo HPO, in particolare grazie alle formule trigonometriche sui triangoli rettangoli

da cui

.

Quindi l'area del primo triangolo è

L'angolo AOB è un quarto dell'angolo al centro perché AB è la quarta parte della circonferenza, quindi AOB=360°/4=90°. Quindi l'angolo POB è 90°-AOP, quindi

.

Per conoscere il seno di AOP, usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

ossia

Abbiamo l'area di POB:

Sommiamo le aree e imponiamo che la somma sia maggiore di 5/2

.

Risolvila con la condizione aggiuntiva che x sia compreso tra 0 e r=2 (perchè il punto P deve stare sull'arco) messa a sistema.

Per il secondo punto, vogliamo che PB≤2PH. Ti do la traccia, prova da te e se hai ancora bisogno chiedi:

1) PB lo trovi con il teorema di Carnot (teorema del coseno);

2) Scrivi la disequazione (che dipende dalla sola x) e la risolvi

3) Metti il risultato a sistema con la soluzione dell'altra richiesta.

In caso di difficoltà, non esitare a chiedere. ;)

Namasté - Agente Ω