Soluzioni
  • Ok! Veniamo a noi: disegna tutto qunto e segui le mie indicazioni.

    Congiungi il punto P con il centro della circonferenza, hai il raggio PO=r=2.

    Chiamiamo x:=PH.

    Calcoliamo l'area del quadrilatero OAPB come somma delle aree del triangolo APO e del triangolo PBO. Ci serve un po' di trigonometria! Il teorema che dobbiamo usare ci fornisce la formula goniometrica per l'area del triangolo qualsiasi, e dice che

    l'area di un triangolo qualsiasi è uguale al semiprodotto di due suoi lati per il seno dell'angolo tra essi compreso

    Guardiamo il triangolo APO, conosciamo i suoi due lati AO=OP=r=2. Il seno dell'angolo AOP lo troviamo guardando il triangolo rettangolo HPO, in particolare grazie alle formule trigonometriche sui triangoli rettangoli

    HP = OP \sin(AOP)

    da cui

    \sin(AOP)=\frac{HP}{OP}=\frac{x}{2}.

    Quindi l'area del primo triangolo è

    A_{AOP}= \frac{1}{2}\ AO \cdot OP \cdot \sin(AOP) = 4 \cdot \frac{x}{2} = 2x

    L'angolo AOB è un quarto dell'angolo al centro perché AB è la quarta parte della circonferenza, quindi AOB=360°/4=90°. Quindi l'angolo POB è 90°-AOP, quindi

    \sin(POB)=\sin(90^o-AOP)=\cos(AOP).

    Per conoscere il seno di AOP, usiamo l'identità fondamentale della trigonometria:

    \sin^2(AOP)+\cos^2(AOP)=1

    ossia

    \cos(AOP)=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}=\frac{1}{2}\sqrt{4-x^2}

    Abbiamo l'area di POB:

    A_{POB}=\frac{1}{2}\ PO\cdot OB\cdot \sin(POB)= \frac{1}{2}\ \frac{4}{2}\cdot \sqrt{4-x^2}= \sqrt{4-x^2}

    Sommiamo le aree e imponiamo che la somma sia maggiore di 5/2

    2x+\sqrt{4-x^2}>\frac{5}{2}.

    Risolvila con la condizione aggiuntiva che x sia compreso tra 0 e r=2 (perchè il punto P deve stare sull'arco) messa a sistema.

    Per il secondo punto, vogliamo che PB≤2PH. Ti do la traccia, prova da te e se hai ancora bisogno chiedi:

    1) PB lo trovi con il teorema di Carnot (teorema del coseno);

    2) Scrivi la disequazione (che dipende dalla sola x) e la risolvi

    3) Metti il risultato a sistema con la soluzione dell'altra richiesta.

    In caso di difficoltà, non esitare a chiedere. ;)

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
 
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