Soluzioni
  • Premessa: tutto quello che serve lo trovi nel procedimento sullo studio di funzione.

    Per studiare la funzione irrazionale con logaritmo

    f(x)=\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}

    prima di tutto dobbiamo determinarne il dominio. Abbiamo una radice quadrata, un logaritmo e un denominatore, per cui dobbiamo mettere a sistema le condizioni

    \\ \frac{\ln(x-2)}{x-2}\ge 0\mbox{ c. esistenza della radice quadrata} \\ \\ \\ x-2>0\mbox{ c. esistenza del logaritmo} \\ \\ x-2\ne 0\mbox{ C. esistenza della Frazione}

    che risolto conduce alla soluzione x\ge 3, pertanto il dominio di f(x) è

    \mbox{dom}(f)=[3, +\infty)

    Esso non è simmetrico rispetto allo zero, dunque f(x) non può essere una funzione né pari né dispari.

    Per quanto riguarda lo studio del segno, dobbiamo richiedere che f(x)\ge 0 ossia impostare la disequazione irrazionale

    \sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}\ge 0

    Possiamo tranquillamente mandare via la radice elevando entrambi i membri al quadrato e ottenere la disequazione equivalente

    \frac{\ln(x-2)}{x-2}\ge 0

    Ricordandoci sempre che il dominio è [3, +\infty) troviamo che f(x) è positiva per x>3, mentre è nulla per x=3.

    Lo studio del segno ci permette di dedurre i punti di intersezione con gli assi, in particolare quelli con l'asse delle ascisse: nel caso in esame f(x) interseca l'asse x nel punto di coordinate (3, 0).

    Per quanto riguarda l'intersezione con l'asse delle ordinate, non può esserci: infatti dovremmo valutare la funzione nel punto x=0, che però non è incluso nel dominio.

    Calcoliamo i limiti agli estremi del dominio e controlliamo se f(x) ammetta asintoti. Impostiamo il limite per x\to +\infty

    \lim_{x\to +\infty}f(x)=\lim_{x\to +\infty}\frac{\ln(x-2)}{x-2}=0^{+}

    Il limite è nullo per confronto tra infiniti, il numeratore infatti è un infinito di ordine inferiore rispetto a quello del denominatore.

    La nullità del limite ci assicura sia che y=0 è l'equazione dell'asintoto orizzontale destro sia che f(x) non ammette asintoto obliquo.

    Osserviamo inoltre che la funzione è definita e continua in tutto il dominio (perché composizione di funzioni continue), dunque non può avere asintoti verticali.

    Abbiamo ottenuto tutte le informazioni che potevamo estrapolare da f(x) ora possiamo dedicarci al calcolo e allo studio della derivata prima. Per ottenere l'espressione della derivata prima è sufficiente utilizzare il teorema di derivazione delle funzioni composte prima e la regola di derivazione del quoziente poi

    \\ f'(x)=\frac{d}{dx}\left[f(x)\right]= \\ \\ \\ =\frac{d}{dx}\left[\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}\right]= \\ \\ \\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}\cdot\frac{d}{dx}\left[\frac{\ln(x-2)}{x-2}\right]= \\ \\ \\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}\left[\frac{\frac{d}{dx}[\ln(x-2)]\cdot(x-2)-\ln(x-2)\cdot\frac{d}{dx}[x-2]}{(x-2)^2}\right]=

    Portiamo a termine le derivare rimaste ed eseguiamo gli ultimi calcoli

    \\ =\frac{1}{2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}\left[\frac{\frac{1}{x-2}\cdot (x-2)-\ln(x-2)\cdot 1}{(x-2)^2}\right]= \\ \\ \\ = \frac{1}{2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}\left[\frac{1-\ln(x-2)}{(x-2)^2}\right]

    La derivata prima della funzione f(x) è

    f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}\left[\frac{1-\ln(x-2)}{(x-2)^2}\right]

    ed è definita in ogni punto del dominio di f(x) fatta eccezione per il punto x=3 che si candida come punto di non derivabilità.

    Studiamo la derivabilità di f(x) mediante la definizione di derivata, ma attenzione, è opportuno sottolineare che f(x) è definita a destra di x=3 dunque ha senso calcolare il limite destro del rapporto incrementale centrato in 3 ma non quello sinistro. Detto questo impostiamo il limite:

    \\ \lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}= \\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{\frac{\ln(1+h)}{h+1}}}{h}=\left[\frac{0}{0}\right]=(\bullet)

    che presenta una forma di indecisione \left[\frac{0}{0}\right]. Risolviamola facendo uso delle stime asintotiche ed in particolare di quella derivante dal limite notevole del logaritmo

    \lim_{g(x)\to 0}\frac{\ln(1+g(x))}{g(x)}=1\to \ln(1+g(x))\sim_{g(x)\to 0}g(x)

    mediante la quale il limite diventa

    \\ (\bullet)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{\frac{h}{1+h}}}{h}= \\ \\ \\ =\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h}}{h}\cdot\frac{1}{\sqrt{1+h}}=+\infty

    Il limite non è finito, dunque x=3 è un punto di non derivabilità.

    Studiamo il segno della derivata prima per determinare gli intervalli di monotonia della funzione f(x). Impostiamo la disequazione

    f'(x)\ge 0\to \frac{1}{2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}\left[\frac{1-\ln(x-2)}{(x-2)^2}\right]\ge 0\quad (\bullet\bullet)

    ed osserviamo che i termini

    \\ \sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}} \\ \\ (x-2)^2

    sono entrambi positivi in (3, +\infty) dunque non concorreranno per l'analisi del segno, il quale dipende esclusivamente dal termine

    1-\ln(x-2)

    pertanto la disequazione (\bullet\bullet) è equivalente alla disequazione logaritmica

    1-\ln(x-2)\ge 0\to \ln(x-2)\le 1\to x-2\le e\to x\le 2+e

    Tenendo conto del dominio di f(x) possiamo asserire che la derivata prima è

    - positiva sull'intervallo (3, 2+e);

    - negativa sull'intervallo (2+e, +\infty);

    - nulla per x=2+e.

    Grazie al segno della derivata prima possiamo asserire che f(x)

    - è strettamente crescente sull'intervallo (3, 2+e);

    - è strettamente decrescente sull'intervallo (2+e, +\infty);

    - ha un punto di massimo relativo per x=2+e, a cui associamo il massimo relativo dato dal valore che la funzione f(x) assume in tale valore, ossia

    \mbox{max}=f(2+e)=\frac{1}{\sqrt{e}}.

    Dall'andamento di f(x) deduciamo inoltre che il massimo relativo è in realtà anche massimo assoluto (puoi approfondire leggendo la lezione dedicata a come distinguere massimi e minimi relativi da quelli assoluti).

    Abbiamo ottenuto molte informazioni dallo studio della derivata prima, e grazie ad esse potremmo già tracciare il grafico qualitativo di f(x), ad ogni modo continuiamo con l'analisi calcolando e analizzando la derivata seconda di f(x)

    \\ f''(x)=\frac{d}{dx}[f'(x)]= \\ \\  \\ = \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}\cdot\left[\frac{1-\ln(x-2)}{(x-2)^2}\right]\right]= \\ \\ \\ = \frac{d}{dx}\left[\frac{1-\ln(x-2)}{2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}(x-2)^2}\right]=

    Applichiamo la regola di derivazione del quoziente

    =\frac{\frac{d}{dx}[1-\ln(x-2)](x-2)^2\cdot 2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}-(1-\ln(x-2))\cdot\frac{d}{dx}\left[(x-2)^2\cdot 2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}\right]}{\left[(x-2)^2\cdot 2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}\right]^2}=

    (\bullet) Calcoliamo a parte le derivate rimaste, in particolare:

    - grazie alla regola di derivazione delle funzioni composte si ha che

    \frac{d}{dx}[1-\ln(x-2)]=-\frac{1}{x-2};

    - grazie alla regola di derivazione del prodotto di due funzioni si ha invece

    \\ \frac{d}{dx}\left[(x-2)^2\cdot 2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}\right]= \\ \\ \\ =2(x-2)\cdot 2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}+(x-2)^2\cdot \frac{2\cdot\frac{d}{dx}\left[\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}\right]}{2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}= \\ \\ \\ = 4(x-2)\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}+\frac{(x-2)^2 \cdot 2\left(\frac{1-\ln(x-2)}{(x-2)^2}\right)}{2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}=

    Non ci resta che semplificare il più possibile l'espressione e scrivere

    =\frac{1+3\ln(x-2)}{\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}

    Sostituiamo le derivate nell'espressione \bullet

    \bullet=\frac{-\frac{1}{x-2}\cdot (x-2)^2\cdot 2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}-(1-\ln(x-2))\cdot\frac{1+3\ln(x-2)}{\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}}{[(x-2)^2\cdot 2\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}]^2}=

    Con opportune semplificazioni di tipo algebrico giungeremo all'espressione della derivata seconda

    =\frac{3\ln^2(x-2)-4\ln(x-2)-1}{4 (x-2)^4 \left(\frac{\ln(x-2)}{x-2}\right)\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}

    In definitiva

    f''(x)=\frac{3\ln^2(x-2)-4\ln(x-2)-1}{4 (x-2)^3\ln(x-2)\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}

    Studiamone il segno così da determinare gli intervalli in cui f(x) è convessa e quelli in cui è concava. Impostiamo la disequazione

    f''(x)\ge 0\to \frac{3\ln^2(x-2)-4\ln(x-2)-1}{4(x-2)^3\ln(x-2)\sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}}\ge 0

    Osserviamo che nell'intervallo (3, +\infty) i seguenti fattori sono positivi e non influenzano il segno di f''(x)

    (x-2)^3\ \ \ ;\ \ \ \ln(x-2)\ \ \ ;\ \ \ \sqrt{\frac{\ln(x-2)}{x-2}}

    dunque la derivata seconda è non negativa nel momento in cui

    3\ln^2(x-2)-4\ln(x-2)-1\ge 0

    Risolviamo la disequazione logaritmica ponendo z=\ln(x-2) così che si riduca alla disequazione di secondo grado completa

    3t^2-4t-1\ge 0\to t\le \frac{2-\sqrt{7}}{3}\vee  t\ge \frac{2+\sqrt{7}}{3}

    Ripristiniamo la variabile x tenendo a mente la sostituzione fatta

    \ln(x-2)\le \frac{2-\sqrt{7}}{3}\vee \ln(x-2)\ge \frac{2+\sqrt{7}}{3}

    da cui, tenendo conto del dominio di f(x)

    x\ge 2+e^{\frac{1}{3}(2+\sqrt{7})}

    In definitiva possiamo concludere che la derivata seconda è:

    - positiva sull'intervallo

    \left(2+e^{\frac{1}{3}(2+\sqrt{7})}, +\infty\right)

    - negativa sull'intervallo

    (3, 2+e^{\frac{1}{3} (2+\sqrt{7})})

    - nulla per x=2+e^{\frac{1}{3}(2+\sqrt{7})}

    Pertanto la funzione f(x)

    - è convessa sull'intervallo

    \left(2+e^{\frac{1}{3}(2+\sqrt{7})}, +\infty\right)

    - è concava sull'intervallo

    (3, 2+e^{\frac{1}{3} (2+\sqrt{7})})

    - ha un punto di flesso per x=2+e^{\frac{1}{3}(2+\sqrt{7})}.

    Lo studio di funzione ora è completo ed abbiamo tutte le informazioni per disegnare il grafico di f(x).

    Risposta di Ifrit
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