Soluzioni
  • L'area del cerchio è la misura della superficie del cerchio, ossia l'area della regione di piano delimitata dalla circonferenza, e si calcola come prodotto tra il Pi Greco e il quadrato del raggio. Per il calcolo dell'area del cerchio si può ricorrere a svariate formule a seconda dei dati forniti dal problema.

    Area del cerchio

    Formule per l'area del cerchio

    Vediamo quali sono le formule per l'area del cerchio, ma prima specifichiamo la corrispondenza tra i nomi e i simboli che useremo: \pi indica la costante Pi Greco, r è il raggio del cerchio, d il suo diametro, A è l'area del cerchio, 2p il suo perimetro, ossia la lunghezza della circonferenza.

     

    Area del cerchio con il raggio

    A=\pi r^2

    Area del cerchio con il diametro

    A=\frac{\pi d^2}{4}

    Area del cerchio con la circonferenza

    A=\frac{(2p)^2}{4\pi}

     

    Solitamente è consentito sostituire a Pi Greco il valore approssimato \pi \simeq 3,14.

    Area del cerchio col raggio

    Indicando con A l'area del cerchio, con r il suo raggio e con Ï il Pi Greco, abbiamo

    A=\pi \cdot r^2

    ossia l'area di un cerchio si ottiene moltiplicando il quadrato del raggio per Pi Greco.

    Esempio - calcolo area cerchio con il raggio

    A titolo di esempio risolviamo l'esercizio da te proposto, che ci chiede di trovare la superficie del cerchio partendo dal raggio.

    Sapendo il raggio del cerchio misura 12 centimetri, possiamo applicare direttamente la formula per il calcolo dell'area e quindi

    A=\pi \cdot r^2\simeq 3,14 \cdot (12 \mbox{ cm})^2=3,14 \cdot (144 \mbox{ cm}^2)=452,16 \mbox{ cm}^2

    Area del cerchio col diametro

    Detto d il diametro del cerchio, la formula che ci permetterà di trovarne l'area è la seguente

    A=\pi \cdot \frac{d^2}{4}

    Esempio - calcolo area cerchio con il diametro

    Calcolare l'area di un cerchio il cui diametro misura 8 metri.

    Sostituendo d=8 m e π=3,14 nella formula precedente, otteniamo

    A=\pi \cdot \frac{d^2}{4}\simeq 3,14 \cdot \frac{(8 \mbox{ m})^2}{4}=3,14 \cdot \frac{64 \mbox{ m}^2}{4}=3,14 \cdot (16 \mbox{ m}^2)=50,24 \mbox{ m}^2

    Area del cerchio con la circonferenza

    Se si conosce la misura C della circonferenza è possibile ricavare l'area del cerchio ricorrendo alla formula seguente

    A=\frac{C^2}{4\pi}

    Esempio - calcolo area cerchio con la lunghezza della circonferenza

    Trovare l'area del cerchio delimitato da una circonferenza di 56,52 decimetri.

    Applicando la formula data troviamo

    A=\frac{C^2}{4\pi}\simeq \frac{(56,52 \mbox{ dm})^2}{4\cdot 3,14}=\frac{3194,5104 \mbox{ dm}^2}{12,56}=254,34 \mbox{ dm}^2

    Occorre davvero ricordare tutte le formule dell'area del cerchio?

    Più si procede con lo studio della Geometria Piana, più formule ci saranno da ricordare. È quindi davvero necessario conoscere tutte e tre le formule riportate poc'anzi?

    La risposta è no: l'unica formula da sapere è quella dell'area del cerchio con il raggio.

    Infatti, se si conosce la misura del diametro possiamo subito trovare la lunghezza del raggio

    r=\frac{d}{2}

    Allo stesso modo, la misura della circonferenza C è data da

    C=2 \cdot \pi \cdot r

    e quindi il raggio si ottiene invertendo tale formula

    r=\frac{C}{2 \cdot \pi}

    Per tutte le definizioni, le formule e le proprietà vi rimandiamo al formulario su circonferenza e cerchio. ;)

    Risposta di Galois
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