Soluzioni
  • Ciao Alessandto, arrivo a risponderti

    Risposta di Alpha
  • Calcolare le direzioni asintotiche di un'iperbole si traduce nella risoluzione del sistema tra l'iperbole stessa e la retta impropria x3=0. Per capire cosa si intende è necessario riscrivere la conica come

     

    x_1^2-3x_2^2+4x_1x_2+4_x_2x_3+3x_3^2

     

    Per ottenere tale equazione abbiamo introdotto le coordinate omogenee, ponendo:

     

    x=\frac{x_1}{x_3}

     

    e

     

    y=\frac{x_2}{x_3}

     

    Questo cambio di coordinate associa ad ogni punto della conica una retta uscente dall'origine, (siamo passati da due coordinate a tre, quindi parlo dell'origine dello spazio tridimensionale), che la interseca quando x3=1.

    Con queste nuove coordinate siamo passati dal piano affine al piano proiettivo. L'equazione della tua conica in queste coodinate è proprio quella che ho riportato sopra. Ricaviamola passaggio per passaggio:

     

    x^2-3y^2+4xy+4y+3=0

     

    cambiamo le coordinate

     

    \frac{x_1^2}{x_3^2}-3\frac{x_2^2}{x_3^2}+4\frac{x_1x_2}{x_3^2}+4\frac{x_2}{x_3}+3=0

     

    moltiplichiamo per x32, otteniamo

     

    x_1^2-3x_2^2+4x_1x_2+4_x_2x_3+3x_3^2

     

    Le direzioni asintotiche, adesso quello che dicevo prima dovrebbe avere più senso, si calcolano intersecando la conica con la retta impropria, (all'infinito...senza rigore, ma per capire, ti basti pensare che abbiamo definito le coordinate mettendo x3 al denominatore, dunque andando a studiare dove x3=0...)

     

    \left\{\begin{matrix}x_1^2-3x_2^2+4x_1x_2+4_x_2x_3+3x_3^2\\x_3=0\end{matrix}

     

    Otteniamo l'equazione

     

    x_1^2-3x_2^2+4x_1x_2=0

     

    cioè

     

    x^2-3y^2+4xy=0

     

    \frac{x^2}{y^2}+4\frac{x}{y}-3=0

     

    \frac{x}{y}=-2\pm\sqrt{7}

     

    Le direzioni asintotiche sono date da

     

    A_1=(-2-\sqrt{7},1,0)

     

    e

     

    A_2=(-2+\sqrt{7},1,0)

    Risposta di Alpha
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