Direzioni degli asintoti di un'iperbole rototraslata

Calcolare le direzioni asintotiche di un'iperbole si traduce nella risoluzione del sistema tra l'iperbole stessa e la retta impropria x₃=0. Per capire cosa si intende è necessario riscrivere la conica come

Per ottenere tale equazione abbiamo introdotto le coordinate omogenee, ponendo:

e

Questo cambio di coordinate associa ad ogni punto della conica una retta uscente dall'origine, (siamo passati da due coordinate a tre, quindi parlo dell'origine dello spazio tridimensionale), che la interseca quando x₃=1.

Con queste nuove coordinate siamo passati dal piano affine al piano proiettivo. L'equazione della tua conica in queste coodinate è proprio quella che ho riportato sopra. Ricaviamola passaggio per passaggio:

cambiamo le coordinate

moltiplichiamo per x₃², otteniamo

Le direzioni asintotiche, adesso quello che dicevo prima dovrebbe avere più senso, si calcolano intersecando la conica con la retta impropria, (all'infinito...senza rigore, ma per capire, ti basti pensare che abbiamo definito le coordinate mettendo x₃ al denominatore, dunque andando a studiare dove x₃=0...)

Otteniamo l'equazione

cioè

Le direzioni asintotiche sono date da

e