Soluzioni
  • Per ricavare il dominio della funzione

    f(x)=e^{\tfrac{x^2-2x-1}{x^2+2x-1}}

    bisogna osservare che:

    - la funzione esponenziale non ha problemi di esistenza;

    - l'esponente dell'esponenziale è una funzione razionale fratta ed è ben posta nel momento in cui il proprio denominatore è diverso da zero.

    Il dominio della funzione è perciò individuato dalla seguente condizione di esistenza

    C.E.:\ x^2+2x-1\ne 0

    In altri termini l'insieme di definizione di f(x) è costituito dai numeri reali che non soddisfano l'equazione di secondo grado

    x^2+2x-1=0

    Indichiamo con a il coefficiente del termine in x^2, con b il coefficiente del termine in x, e con c il termine noto

    a=1 \ \ \ ; \ \ \ b=2 \ \ \ ; \ \ \ c=-1

    Calcoliamo il discriminante associato all'equazione

    \\ \Delta=b^2-4ac=\\ \\ =2^2-4\cdot 1\cdot (-1)=8

    Il delta è positivo, perciò l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che si ricavano con la formula

    \\ x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{8}}{2}=

    Semplifichiamo il radicale \sqrt{8} in 2\sqrt{2}

    =\frac{-2\pm 2\sqrt{2}}{2}=

    Mettiamo in evidenza 2 al numeratore e in seguito semplifichiamolo con il denominatore

    \\ =\frac{2(-1\pm \sqrt{2})}{2}= \\ \\ \\ =-1\pm\sqrt{2}=\begin{cases}-1-\sqrt{2}=x_1\\ -1+\sqrt{2}=x_2\end{cases}

    Le soluzioni dell'equazione sono

    x_1=-1-\sqrt{2} \ \ \ ; \ \ \ x_2=-1+\sqrt{2}

    e vanno escluse dal dominio.

    Alla luce di ciò, l'insieme di esistenza di y=f(x) è

    \mbox{Dom}(f)=\left\{x\in\mathbb{R}\ \mbox{t.c.} \ x\ne -1-\sqrt{2} \ \wedge \ x\ne -1+\sqrt{2}\right\}=

    che con la notazione degli intervalli diventa

    =(-\infty, -1-\sqrt{2})\cup (-1-\sqrt{2},-1+\sqrt{2})\cup(-1+\sqrt{2},+\infty)

    Per quanto concerne il segno della funzione basta osservare che l'esponenziale è sempre positiva, per cui

    f(x)>0 \ \ \ \to \ \ \ e^{\tfrac{x^2-2x-1}{x^2+2x-1}}>0

    è una disequazione esponenziale verificata per ogni elemento del dominio.

    A conferma dei risultati, riportiamo il grafico della funzione:

     

    Grafico di una funzione esponenziale con esponente fratto

     

    Abbiamo finito.

    Risposta di Ifrit
 
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