Dominio di funzione esponenziale con esponente razionale

Question

Avrei bisogno del vostro aiuto per determinare il dominio di una funzione esponenziale avente all'esponente un'espressione fratta. Io pensavo che la funzione fosse definita su tutto l'insieme dei numeri reali, ma a quanto pare non è così. Una volta trovato il dominio, cosa posso dire sul segno della funzione? Determinare il dominio e il segno della funzione definita da f(x) = e^((x^2-2x-1)/(x^2+2x-1)) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Per ricavare il dominio della funzione f(x) = e^((x^2-2x-1)/(x^2+2x-1)) bisogna osservare che:-la funzione esponenziale non ha problemi di esistenza;-l'esponente dell'esponenziale è una funzione razionale fratta ed è ben posta nel momento in cui il proprio denominatore è diverso da zero. Il dominio della funzione è perciò individuato dalla seguente condizione di esistenza C.E.: x^2+2x-1 ne 0 In altri termini l'insieme di definizione di f(x) è costituito dai numeri reali che non soddisfano l'equazione di secondo grado x^2+2x-1 = 0 Indichiamo con a il coefficiente del termine in x^2, con b il coefficiente del termine in x, e con c il termine noto a = 1 ; b = 2 ; c = -1 Calcoliamo il discriminante associato all'equazione ; Δ = b^2-4ac = 2^2-4·1·(-1) = 8 Il delta è positivo, perciò l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte che si ricavano con la formula ; x_(1,2) = (-b±√(Δ))/(2a) = (-2±√(8))/(2) = Semplifichiamo il radicale √(8) in 2√(2) = (-2±2√(2))/(2) = Mettiamo in evidenza 2 al numeratore e in seguito semplifichiamolo con il denominatore ; = (2(-1±√(2)))/(2) = -1±√(2) = -1-√(2) = x_1 ;-1+√(2) = x_2 Le soluzioni dell'equazione sono x_1 = -1-√(2) ; x_2 = -1+√(2) e vanno escluse dal dominio. Alla luce di ciò, l'insieme di esistenza di y = f(x) è Dom(f) = x∈R t.c. x ne-1-√(2) ∧ x ne-1+√(2) = che con la notazione degli intervalli diventa = (-∞,-1-√(2)) U (-1-√(2),-1+√(2)) U (-1+√(2),+∞) Per quanto concerne il segno della funzione basta osservare che l'esponenziale è sempre positiva, per cui f(x) > 0 → e^((x^2-2x-1)/(x^2+2x-1)) > 0 è una disequazione esponenziale verificata per ogni elemento del dominio. A conferma dei risultati, riportiamo il grafico della funzione: Abbiamo finito.