Soluzioni
  • Seguiamo il metodo classico per lo studio delle funzione.

    A) Partiamo dal dominio, dobbiamo richiedere: (1) l'argomento della radice deve essere positivo o nullo, (2) quello del logaritmo strettamente positivo e (3) il denominatore della frazione diverso da 0.

    (1)

    \frac{\log(x+2)}{x+3}\geq 0

    è una disequazione fratta. Studiando separatamente numeratore e denominatore si ottengono le seguenti soluzioni:

    x\in (-\infty-3)\cup (-1,+\infty)

    (2)

    x+2>0

    cioè

    x\in (-2,+\infty)

    (3)

    x+3\neq 0

    quindi

    x\neq -3

    Le condizioni di esistenza devono valere tutte insieme, quindi ledevi trattare come se fossero soluzioni di un sistema. Considerando che le tre disequazioni devono valere tutte e tre ottieni che il dominio della funzione è

    (-1,+\infty)

    B) Intersezioni con gli assi. Per trovare le intersezioni è sufficiente risolvere i due sistemi seguenti

    (1) intersezione con l'asse y (cioè la retta x=0)

    \left\{\begin{matrix}x=0\\y=\sqrt{\frac{\log(x+2)}{x+3}}\end{matrix}

    da cui otteniamo, sostituendo x=0 nella seconda equazione

    \left\{\begin{matrix}x=0\\y=\sqrt{\frac{\log(2)}{3}}\end{matrix}

    (2) intersezione con l'asse x (cioè la retta y=0):

    \left\{\begin{matrix}y=0\\y=\sqrt{\frac{\log(x+2)}{x+3}}\end{matrix}

    da cui otteniamo, sostituendo y=0 nella seconda equazione

    \left\{\begin{matrix}y=0\\0=\sqrt{\frac{\log(x+2)}{x+3}}\end{matrix}

    La seconda equazione è vera solo se il numeratore è 0, quindi, otteniamo la soluzione

    \left\{\begin{matrix}y=0\\ x=-1\end{matrix}

    C) Segno della funzione: nel dominio sappiamo che l'argomento della radice è positivo e sappiamo che si annulla solo quando x=-1. Dunque la funzione è sempre positiva e si annulla solo in x=-1, questo perché la radice di un numero positivo è sempre positiva.

    D) L'unico limite da calcolare è quello per x tendente a infinito:

    \lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{\log(x+2)}{x+3}}=0

    Il risultato è dato da un confronto tra infiniti.

    L'unico altro punto in cui sarebbe stato sensato calcolare il limite è -3, ma è escluso dal dominio della funzione, quindi non dobbiamo occuparcene.

    E) Per capire dove la funzione cresce o decresce è necessario studiare il segno della derivata prima:

    f^{\prime}(x)=\frac{\frac{x+3}{x+2}-\log(x+2)}{2\sqrt{\frac{\log(x+2)}{x+3}}(x+3)^2}

    Ora fare i tutti i calcoli non è una buona idea, prima di tutto osserviamo che nel dominio della funzione il denominatore è sempre positivo, dunque possiamo limitare lo studio del segno al numeratore:

    \frac{x+3}{x+2}-\log(x+2)\geq 0

    Questa è una disequazione trascendente va risolta con un confronto grafico. In particolare si trova come unica soluzione un punto di ascissa x=β compreso tra 1 e 2, che non stiamo a determinare esplicitamente. Prima di questo punto la funzione cresce, dopo decresce, infatti il limite che abbiamo calcolato prima ci dice che deve tendere a 0 per x che tende ad infinito. In particolare la funzione ammette massimo in f(β).

    Lo studio della derivata seconda si può omettere in tutta tranquillità.

    Se vuoi disegnare il grafico - click!

    Risposta di Alpha
  • Ok grazie tanto! :) :) :)

    Risposta di alessandra89
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