Soluzioni
  • ii) se f è minore o uguale a g per qualsiasi x appartenente a [0,+inf.) allora f ' è minore o uguale a g ' per ogni x appartenente a (0,+inf.)

    iii)se f ' è minore o uguale a g ' per ogni x appartenente a (0,+inf) e f(0)=g(0) allora f(x) è minore o guale a g(x) per ogni x appartenente a [0,+inf.)

    scusa se scrivo soltanto ora..

    Risposta di pantheron
  • Arrivo pantheron, il tempo di leggere e pensarci un po'

    Risposta di Alpha
  • Si considerano funzioni continue sul'intervallo chiuso in 0 e derivabili sull'intervallo aperto in 0 perché in questo modo si considerano le ipotesi più deboli possibile perché tu possa applicare tutti i teoremi di derivazione. Non è questo il caso in cui non è possibile fare il limite sinistro in 0 delle funzioni, (o meglio, non lo sappiamo, visto che non abbiamo una forma esplicita delle funzioni), ma scegliere gi intervalli in questo modo ti assicura che se la funzione è definita e continua in [0,+∞), e derivbile in (0,+∞), allora i risultati che dimostreremo sono vailidi anche se la funzione dovesse risultare non derivabile in 0. Se poi lo fosse tanto di guadagnato. Quindi la scelta dell'intervallo di derivabilità è giustificata dalla ricerca della massima generalità dei risultati.

     

    Passiamo alla prima affermazione:

    sappiamo che su tutto il suo dominio

     

    g^{\prime}(x)\neq 0

     

    e

     

    \frac{f^{\prime}}{g^{\prime}}\equiv 1

     

    allora

     

    \int f^{\prime}=\int g^{\prime}

     

    f+c_1=g+c_2

     

    quindi

     

    f-g=c_2-c_1

     

    Ora consideriamo le due funzioni

     

    f(x)=2x-1

     

    e

     

     

    g(x)=x

     

    Le funzioni soddisfano le ipotesi sotto cui stiamo lavorando, sono continue e derivabili su tutto  R, a maggior ragione lo sono negli intervalli richiesti.

    Le derivate di queste funzioni sono

     

    f^{\prime}(x)=2

     

    g^{\prime}(x)=1

     

    Quindi la derivata di f è sempre maggiore della derivata di g, ma f non è sempre maggiore di g. Basta disegnarlo per vederlo.

     

    Ora supponiamo invece che la relazione valga tra f e g. Riusciremo a trovare un controesempio per mostrare che l'affermazione è falsa:

     

    Siano

     

    f(x)=-x^2+3x

     

    e

     

     

    g(x)=x

     

    Ora la parabola è sempre più piccola della bisettrice, ma non è così per le loro derivate, infatti

     

    f^{\prime}(x)=-2x+3

     

    g^{\prime}(x)=1

     

    Ora se il teorema valesse dovremmo trovare che

     

    f^{\prime}(x)\leq g^{\prime}(x)

     

    ma ti basta disegnare la retta y=-2x+3 e la funzione costante y=1, per renderti conto che si intersecano nel punto x=1, di conseguenza non possono essere sempre una più piccola dell'altra.

     

    Risposta di Alpha
 
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