Esercizio di calcolo della somma di una serie
Quando mi si chiede di calcolare la somma di una serie ho il vuoto, perché non so mai quale trucco o procedimento usare a meno che non si tratti di serie numeriche facili facili. Questo esercizio mi dà una serie fratta e mi sembra impossibile calcolarne la somma, eppure la richiesta è proprio quella lì...
Ciao Xavier, ci vuole un metodo molto molto carino per calcolare la somma della serie. Così carino che non posso fare a meno di risponderti subito!
Per calcolare la somma della serie, è sufficiente riscrivere il termine generale nella forma
(intanto ti chiedo, neanche fossimo ad un orale: sapresti dirmi perché la suddetta serie è certamente convergente?...
)Dato che vogliamo che i due termini generali coincidano, dobbiamo richiedere che
l'unica soluzione del sistema è data dalla coppia
cosicchè la serie può essere riscritta nella forma equivalente
e adesso?.....
...adesso osserviamo che la serie è una serie telescopica, infatti calcolando esplicitamente i termini grazie all'ultima espressione troviamo
e così via: oltre il primo termine, i termini successivi si semplificano a due a due, e la somma della serie vale
Namasté!
Per calcolare la somma della serie, è sufficiente riscrivere il termine generale nella forma
Questa è una regola generale che vale per la serie telescopica?
Comunque si puo dire chè è certamente convergente perchè la serie
è una serie con lo stesso carattere (o comportamento, non mi ricordo come si dice)
che sappiamo essere convergente essendo una serie geometrica?Si, essendo una serie geometrica con potenza pari a due. Se la potenza fosse 1, non sarebbe convergente. Comunque è corretto.
E sì: il metodo che ti permette di spezzare il termine generale nella somma/differenza di due termini con denominatori di primo grado è una regola che vale e che ti permette di "smascherare" le serie telescopiche.
Namasté!
Sicuro che vale
Su wikpedia ho letto che per trovare la somma si deve sottrarre il primo dall'ultimo? In questo caso a cosa corrisponde?
Se hai letto l'articolo giusto (sulle serie telescopiche), l'unica cosa che devi fare è eliminare i termini consecutivi a due a due. In questo modo tutto ciò che è oltre il primissimo termine della serie si cancella.
Si, sicuro come la morte
se l'indice di partenza è k=1 come hai scritto tu.Se è k=0, invece, la somma vale 1.
Namasté!
Prendendo come riferimento in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione {Ak}:
come posso collegarle al mio esempio?
Certamente. Ma noi non stavamo parlando delle somme parziali, bensì di una serie.
Il fatto che tutti i termini si annullano dipende proprio dal fatto che la serie continua per tutti gli indici, all'infinito.
Chiaramente se consideri la serie parziale all'indice N-esimo, sopravvivono il primo e l'ultimo termine, "ma che ce frega ma che ce 'mporta" nel nostro esercizio?
Namasté!
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