Soluzioni
  • Ciao Xavier, ci vuole un metodo molto molto carino per calcolare la somma della serie. Così carino che non posso fare a meno di risponderti subito! Laughing

    Risposta di Omega
  • Per calcolare la somma della serie, è sufficiente riscrivere il termine generale nella forma

    \frac{1}{(k+2)(k+1)}=\frac{A}{k+2}+\frac{B}{k+1}=\frac{(A+B)k+(A+2B)}{(k+2)(k+1)}

    (intanto ti chiedo, neanche fossimo ad un orale: sapresti dirmi perché la suddetta serie è certamente convergente?... Sealed)

    Dato che vogliamo che i due termini generali coincidano, dobbiamo richiedere che

    A+B=0

    A+2B=1

    l'unica soluzione del sistema è data dalla coppia

    (A,B)=(-1,+1)

    cosicchè la serie può essere riscritta nella forma equivalente

    \sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{1}{(k+2)(k+1)}}=\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{1}{k+1}}-\sum_{k=1}{+\infty}{\frac{1}{k+2}}=

    e adesso?.....

    ...adesso osserviamo che la serie è una serie telescopica, infatti calcolando esplicitamente i termini grazie all'ultima espressione troviamo

    =\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-...

    e così via: oltre il primo termine, i termini successivi si semplificano a due a due, e la somma della serie vale

    \frac{1}{2}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Per calcolare la somma della serie, è sufficiente riscrivere il termine generale nella forma

    \frac{1}{(k+2)(k+1)}=\frac{A}{k+2}+\frac{B}{k+1}=\frac{(A+B)k+(A+2B)}{(k+2)(k+1)}

     

    Questa è una regola generale che vale per la serie telescopica?

    Comunque si puo dire chè è certamente convergente perchè la serie

    \sum_{k=1}^{\infty} {1\over k^2}

    è una serie con lo stesso carattere (o comportamento, non mi ricordo come si dice)Tongue che sappiamo essere convergente essendo una serie geometrica?

    Risposta di xavier310
  • Si, essendo una serie geometrica con potenza pari a due. Se la potenza fosse 1, non sarebbe convergente. Comunque è corretto. Laughing

    E sì: il metodo che ti permette di spezzare il termine generale nella somma/differenza di due termini con denominatori di primo grado è una regola che vale e che ti permette di "smascherare" le serie telescopiche.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Sicuro che vale \frac{1}{2}\ ?

    Su wikpedia ho letto che per trovare la somma si deve sottrarre il primo dall'ultimo? In questo caso a cosa corrisponde?

    Risposta di xavier310
  • Se hai letto l'articolo giusto (sulle serie telescopiche), l'unica cosa che devi fare è eliminare i termini consecutivi a due a due. In questo modo tutto ciò che è oltre il primissimo termine della serie si cancella.

    Si, sicuro come la morte Laughing se l'indice di partenza è k=1 come hai scritto tu.

    Se è k=0, invece, la somma vale 1.

    Namasté! 

    Risposta di Omega
  • Prendendo come riferimento in questo caso le somme parziali si possono esprimere come differenza del primo e ultimo termine della successione {Ak}:

     

    S_N=\sum_{k=1}^{N}{A_{k+1}-A_k}=A_{N+1}

     

    come posso collegarle al mio esempio?

    Risposta di xavier310
  • Certamente. Ma noi non stavamo parlando delle somme parziali, bensì di una serie.

    Il fatto che tutti i termini si annullano dipende proprio dal fatto che la serie continua per tutti gli indici, all'infinito.

    Chiaramente se consideri la serie parziale all'indice N-esimo, sopravvivono il primo e l'ultimo termine, "ma che ce frega ma che ce 'mporta" nel nostro esercizio?

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi