Soluzioni
  • Ciao Simona, do una sistematina al codice LaTeX della tua domanda e ti rispondo subito :)

    Risposta di Omega
  • Le riscrivo l'ateprima andava bene ora non si capisce più :(

    (n + 1)^(1/(n+1)) - n^(1/n)

    -ln(n)/n^2

    Risposta di Simona
  • Ora dovremmo esserci, guarda il testo della tua domanda e dimmi "Sì" Laughing

    Risposta di Omega
  • Si ora la vedo bene Smile

    Risposta di Simona
  • Verificare che una funzione è asintotica ad un'altra, anche se qui in verità stiamo parlando di due successioni, consiste niente più e niente meno che nel verificare che il limite del rapporto, per n\to +infty, valga 1.

    Ossia: dette \{a_n\}_n\mbox{ e }\{b_n\}_n le due successioni, se

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{a_n}{b_n}}=1

    allora scriviamo

    a_n \sim b_n

    e diciamo che la successione \{a_n\}_n è asintotica alla successione \{b_n\}_n per n\to +\infty

    Mi sembra di capire che il punto della tua domanda sia: se ho la successione

    \{a_n\}_n=\left\{(n+1)^{\frac{1}{n+1}}-n^{\frac{1}{n}}\right\}

    come faccio a trovare una successione ad essa asintotica? (Che poi, nella fattispecie, sarà proprio quella la)...

    Ora ti chiedo: è questo il punto della tua domanda? Se vuoi verificare che sono asintotiche, basta verificare che il limite del rapporto tenda ad uno. Oppure vuoi arrivare da zero a costruire quella successione?

    Risposta di Omega
  • Si la domanda è come arriva a trovare la successione asintotica

     -\frac {ln(n)} {n^2}

    Ho provato lo sviluppo di Taylor del reciproco della successione in n = 0 ma non ne vengo fuori, l'esercizio sulle dispense avendo la successione asintotica è semplicissimo da continuare ma non spiega come la trova, in origine era

    trovare per quale valore di \alpha la serie di termine

     ((n+1)^\frac {1} {n+1} - n^\frac {1}{ n})n^\alpha

    è convergente, se hai una via alternativa per stabilire la convergenza benvenga :)

     

     

     

     

    Risposta di Simona
  • Aspetta, a me sembra che la via dello sviluppo di Taylor sia la strada corretta da seguire. Tra le altre cose, puoi fermarti al primo ordine, cioè si tratta di calcolare una derivata. Vuoi che proviamo a fare i conti insieme?

    Risposta di Omega
  • Ho provato il calcolo della derivata, lasciata fare a derive, ma deve esserci qualche problema perché non capisco come viene fuori ln(n) mi aspetto solo termini del tipo n^a, lasciando fare lo sviluppo a Mathematica il risultato conferma quel primo termine (derive non è in grado di calcolarlo), siamo nel classico caso di infinitesimi/infiniti di tipo logaritmico, non riesco a sviluppare nemmeno  \left(\frac {1}{n}\right)^n  in n = 0

    Risposta di Simona
  • Ti do una dritta (se vuoi posto anche tutti i calcoli, devi solo chiedere, ma dovrei chiederti di avere un po' di pazienza perché sono lunghetti).

    Lascia perdere derive e affini e fai i conti a mano, ma apparecchia la funzione della successione in modo che la derivata sia agile da calcolare.

    In particolare, prova a derivare (rispetto a n)

    \left[e^{\frac{1}{n+1}\log{(n+1)}}-e^{\frac{1}{n}\log{(n)}}\right]^{-1}

    che evidentemente coincide con il reciproco del termine generale della successione. All'interno delle parentesi mi sono limitato ad usare un barbatrucco algebrico che sfrutta la relazione che sussiste tra esponenziale e logaritmo, congiuntamente ad una nota proprietà dei logaritmi.

    Se ora calcoli la derivata prima, ti verrà un'espressione relativamente brutta. In quell'espressione prendi le parti principali degli infiniti e butti via tutto il resto (costanti che vengono sommate, etc. etc.).

    In questo modo arrivi a dimostrare l'equivalenza asintotica con la successione desiderata.

    Poi studiare la convergenza della serie è una passeggiata, come giustamente hai fatto notare.

    Se hai dubbi, io sono qui. Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Prima di imbarcarmi in quella derivata bruttina ho provato con la funzione

     x^x = e^{xln(x)}

    derivata prima

     (1 + ln(x)) e^{xln(x)}

    ora dovrevei valutarla in x=0 e mi sono già fermata, o c'è qualcosa che va oltre analisi I e per questo ci ha dato lo sviluppo asintotico o non so più calcolare lo sviluppo in serie di Taylor che dovrebbe essere 1+ xlog(x), il termine log(x) da dove salta fuori?Embarassed

     

    Scusami ma non ci riesco proprio, fai pure con calma non voglio essere pressante e togliere tempo ad altri utenti.

     

    Risposta di Simona
  • Alt ho capito, è semplicemente lo sviluppo di  e^{f(x)}

     

    Grazie 1000 :)

     

    Risposta di Simona
  • Partiamo dall'esempio che hai fatto. Il termine

    1+\log{(x)}

    salta fuori dal teorema di derivazione della funzione composta, in quanto devi derivare prima la funzione esponenziale (che resta tale e quale) e poi moltiplicare per la derivata della funzione che ne costituisce l'esponente (in cui devi applicare il teorema di derivazione del prodotto di funzioni).

    Il punto è che una volta effettuata la derivata non devi effettuare la valutazione in zero (non si può fare!), ma devi valutare l'asintoticità al tendere della variabile a zero.

    Tutto il fraintendimento nasce da qui. In questo modo sei in grado di trovare equivalenze asintotiche (roba semplice)  sui singoli termini che compaiono nella derivata e di effettuare le varie ed eventuali operazioni algebriche.

    Prova a derivare la funzione che ti ho suggerito (facendo attenzione a derivare bene!), e poi prova a tralasciare i termini e gli addendi irrilevanti nell'ordine di infinito. In questo modo arrivi proprio alla successione asintotica che ti serve.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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