Asintoticità di una successione
Come si dimostra l'asintoticità di una successione rispetto ad un'altra successione? Potreste spiegarmi come ricavare che per 
è una successione asintotica a
Il limite del rapporto è 1 ma come trova la funzione asintotica? Grazie!
Ciao Simona, do una sistematina al codice LaTeX della tua domanda e ti rispondo subito :)
Le riscrivo l'ateprima andava bene ora non si capisce più :(
(n + 1)^(1/(n+1)) - n^(1/n)
-ln(n)/n^2
Ora dovremmo esserci, guarda il testo della tua domanda e dimmi "Sì"
Si ora la vedo bene
Verificare che una funzione è asintotica ad un'altra, anche se qui in verità stiamo parlando di due successioni, consiste niente più e niente meno che nel verificare che il limite del rapporto, per
, valga 1.Ossia: dette
le due successioni, se
allora scriviamo
e diciamo che la successione
è asintotica alla successione 
per 
. Mi sembra di capire che il punto della tua domanda sia: se ho la successione
come faccio a trovare una successione ad essa asintotica? (Che poi, nella fattispecie, sarà proprio quella la)...
Ora ti chiedo: è questo il punto della tua domanda? Se vuoi verificare che sono asintotiche, basta verificare che il limite del rapporto tenda ad uno. Oppure vuoi arrivare da zero a costruire quella successione?
Si la domanda è come arriva a trovare la successione asintotica
Ho provato lo sviluppo di Taylor del reciproco della successione in n = 0 ma non ne vengo fuori, l'esercizio sulle dispense avendo la successione asintotica è semplicissimo da continuare ma non spiega come la trova, in origine era
trovare per quale valore di
la serie di termine
è convergente, se hai una via alternativa per stabilire la convergenza benvenga :)
Aspetta, a me sembra che la via dello sviluppo di Taylor sia la strada corretta da seguire. Tra le altre cose, puoi fermarti al primo ordine, cioè si tratta di calcolare una derivata. Vuoi che proviamo a fare i conti insieme?
Ho provato il calcolo della derivata, lasciata fare a derive, ma deve esserci qualche problema perché non capisco come viene fuori ln(n) mi aspetto solo termini del tipo n^a, lasciando fare lo sviluppo a Mathematica il risultato conferma quel primo termine (derive non è in grado di calcolarlo), siamo nel classico caso di infinitesimi/infiniti di tipo logaritmico, non riesco a sviluppare nemmeno
in n = 0Ti do una dritta (se vuoi posto anche tutti i calcoli, devi solo chiedere, ma dovrei chiederti di avere un po' di pazienza perché sono lunghetti).
Lascia perdere derive e affini e fai i conti a mano, ma apparecchia la funzione della successione in modo che la derivata sia agile da calcolare.
In particolare, prova a derivare (rispetto a
)![[e^((1)/(n+1)log(n+1))-e^((1)/(n)log(n))]^(-1)](/images/joomlatex/4/6/46bd35146763e2931af84cbef715bab7.gif)
che evidentemente coincide con il reciproco del termine generale della successione. All'interno delle parentesi mi sono limitato ad usare un barbatrucco algebrico che sfrutta la relazione che sussiste tra esponenziale e logaritmo, congiuntamente ad una nota proprietà dei logaritmi.
Se ora calcoli la derivata prima, ti verrà un'espressione relativamente brutta. In quell'espressione prendi le parti principali degli infiniti e butti via tutto il resto (costanti che vengono sommate, etc. etc.).
In questo modo arrivi a dimostrare l'equivalenza asintotica con la successione desiderata.
Poi studiare la convergenza della serie è una passeggiata, come giustamente hai fatto notare.
Se hai dubbi, io sono qui.
Namasté!
Prima di imbarcarmi in quella derivata bruttina ho provato con la funzione
derivata prima
ora dovrevei valutarla in x=0 e mi sono già fermata, o c'è qualcosa che va oltre analisi I e per questo ci ha dato lo sviluppo asintotico o non so più calcolare lo sviluppo in serie di Taylor che dovrebbe essere 1+ xlog(x), il termine log(x) da dove salta fuori?
Scusami ma non ci riesco proprio, fai pure con calma non voglio essere pressante e togliere tempo ad altri utenti.
Alt ho capito, è semplicemente lo sviluppo di
Grazie 1000 :)
Partiamo dall'esempio che hai fatto. Il termine
salta fuori dal teorema di derivazione della funzione composta, in quanto devi derivare prima la funzione esponenziale (che resta tale e quale) e poi moltiplicare per la derivata della funzione che ne costituisce l'esponente (in cui devi applicare il teorema di derivazione del prodotto di funzioni).
Il punto è che una volta effettuata la derivata non devi effettuare la valutazione in zero (non si può fare!), ma devi valutare l'asintoticità al tendere della variabile a zero.
Tutto il fraintendimento nasce da qui. In questo modo sei in grado di trovare equivalenze asintotiche (roba semplice) sui singoli termini che compaiono nella derivata e di effettuare le varie ed eventuali operazioni algebriche.
Prova a derivare la funzione che ti ho suggerito (facendo attenzione a derivare bene!), e poi prova a tralasciare i termini e gli addendi irrilevanti nell'ordine di infinito. In questo modo arrivi proprio alla successione asintotica che ti serve.
Namasté!
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