Soluzioni
  • Ciao Pippo :)

    Dobbiamo determinare le coordinate cartesiane del punto C tale che il segmento \overline{OC} sia medio proporzionale tra \overline{AC} \mbox{ e } \overline{OA}, sapendo che O(0,0) \mbox{ e } A(3,2).

    Per definizione di medio proporzionale dobbiamo allora imporre che sia verificata la seguente proporzione

    \overline{AC}:\overline{OC}=\overline{OC}:\overline{OA}

    ossia che, per la proprietà fondamentale delle proporzioni

    \overline{OC}^2=\overline{AC}\cdot \overline{OA}

    Ora, applicando la formula della distanza tra due punti

    \overline{OA}=\sqrt{(x_A-x_O)^2+(y_A-y_O)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(2-0)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}

    Inoltre il punto C, deve appartenere alla retta per i due punti O \mbox{ e } A che ha equazione

    r_{OA}: \ \frac{x-x_O}{x_A-x_O}=\frac{y-y_O}{y_A-y_O} \to \frac{x}{3}=\frac{y}{2} \to 2x=3y

    Pertanto dette C(x_C,y_C) le coordinate cartesiane del punto C, esse devono soddisfare la precedente equazione, ossia il punto C avrà coordinate della forma

    C\left(x_C, \frac{2}{3}x_C\right)

    Alla luce di ciò

    \overline{OC}=\sqrt{(x_C-x_O)^2+(y_C-y_O)^2}=\sqrt{(x_C-0)^2+\left(\frac{2}{3}x_C-0)^2}=\sqrt{x_c^2+\frac{4}{9}x_c^2}=\sqrt{\frac{13}{9}x_C^2}

    \overline{AC}=\sqrt{(x_C-x_A)^2+(y_C-y_A)^2}=\sqrt{(x_C-3)^2+\left(\frac{2}{3}x_C-2)^2}=

    (sviluppando i due quadrati di binomio e sommando i termini simili)

    =\sqrt{\frac{13}{9}x_C^2-\frac{26}{3}x_C+13}

    Ora, sostituendo le misure trovate in

    \overline{OC}^2=\overline{AC}\cdot \overline{OA}

    abbiamo

    \frac{13}{9}x_C^2=\sqrt{\frac{13}{9}x_C^2-\frac{26}{3}x_C+13}\cdot \sqrt{13}

    da cui

    \frac{13}{9}x_C^2=\sqrt{\frac{169}{9}x_C^2-\frac{338}{3}x_C+169}

    \frac{13}{9}x_C^2=\frac{1}{3}\sqrt{169 x_C^2-1014 x_C+1521}

    Ora, il radicando è lo sviluppo di un quadrato di binomio, infatti

    169 x_C^2-1014 x_C+1521=(13x_C-39)^2

    Pertanto ricadiamo nella seguente equazione con valore assoluto

    \frac{13}{9}x_C^2=\frac{1}{3}\left|13x_C-39\right|

    la quale (lascio a te i conti puramente algebrici) ha come soluzioni

    x_C=\frac{3}{2}(\sqrt{5}-1) \mbox{ oppure } x_C=-\frac{3}{2}(\sqrt{5}+1)

    Ora, il punto C(x_C, y_C), \mbox{ con } y_C=\frac{2}{3}x_C appartiene al segmento \overline{OA}. Di conseguenza

    x_O = 0 \le x_C \le x_A=3

    ossia l'ascissa del punto C è un numero non negativo compreso tra 0 e 3. La soluzione negativa ottenuta va dunque scartata. Possiamo così concludere che

    x_C=\frac{3}{2}(\sqrt{5}-1)

    e quindi

    y_C=\frac{2}{3}x_C=\frac{2}{3}\cdot \frac{3}{2}(\sqrt{5}-1)=\sqrt{5}-1

    Abbiamo finito. :)

    Risposta di Ifrit
 
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