Soluzioni
  • Consideriamo due basi distinte di uno spazio vettoriale V:

     

    \mathcal{B}=\{v_1,\ldots ,v_n\}

     

    \mathcal{B}^{\prime}=\{v_1^{\prime},\ldots ,v_n^{\prime}\}

     

    Le componenti di un vettore qualunque v in V rispetto alle due basi, sono i coefficienti tali che

     

    v=\alpha_1v_1+\cdots +\alpha_nv_n

     

    e

     

    v=\beta_1v_1^{\prime}+\cdots +\beta_nv_n^{\prime}

     

    Utilizzando il prodotto riga per colonna standard per le matrici, possiamo scrivere

     

    v=\left(\begin{matrix}v_1 & \ldots & v_n\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\alpha_1 \\  \vdots \\ \alpha_n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}v_1^{\prime} & \ldots & v_n^{\prime}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\beta_1 \\  \vdots \\ \beta_n\end{matrix}\right)

     

    A questo punto nulla ci vieta di scrivere i vettori della base B' usando i vettori della base B, esattamente come abbiamo fatto con il vettore v prima. I coefficienti che troveremo formeranno una matrice nxn detta matrice di cambiamento di base.

     

    Se vuoi un esempio, e se vuoi approfondire, leggi la lezione sulla matrice del cambiamento di base.

    Risposta di Alpha
  • Potresti spiegarmi,riferendomi a quell'esercizio, dove sono usciti quei numeri :

    4 1 4

    4 2 3

    0 0 0

    Ha fatto una moltiplicazione? Come?

    Risposta di povi
  • Certo che si! Ha solo usato la moltiplicazione riga per colonna delle matrici, calcolo esplicitamente il primo, per gli altri puoi usare lo stesso metodo:

     

    \left[\begin{matrix}1&-2&2\\1&1&-1\\2&0&3\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2\\-1\\0\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+2\cdot 0\\1\cdot 2+1\cdot (-1)-1\cdot 0\\2\cdot 2+0\cdot (-1)+3\cdot 0\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}4\\1\\4\end{matrix}\right]

     

    Come vedi, ad esempio per la prima componente del vettore risultato del prodotto si procede in questo modo: si prende il primo elemento della prima riga della matrice e si moltiplica per il primo elemento della prima colonna della seconda, (in questo caso è un vettore, dunque abbiamo solo quella colonna), poi, al numero ottenuto si somma il prodotto del secondo elemento della riga per il secondo della colonna. Infine si somma il prodotto tra il terzo elemento della prima riga della matrice e il terzo elemento della prima colonna della seconda matrice.

    Risposta di Alpha
  • ok fino e qui ci sono. SUl quaderno ho però degli eserci dove c'è il passaggio di alcune basi di R2 senza vettori. Ad esempio: 

    B= (e1,e2)

    B'= (u1=(-1,2),u2=(1,1))

    B'' = (v1=(1,-1),v2=(0,2)) 

    Sapresti dirmi :

    come si scrivere MB' B e come si passa a MB B'??

    come si scrivere MB'' B e come si passa a MB'' B??

    come si scrivere MB' B'' e come si passa a MB'' B'??

    Non chiedo tutti i calcoli xD. Vorrei solo sapere come si imposta. 

    Risposta di povi
  • Prima di tutto

     

    e_1=(1,0)

     

    e

     

    e_2=(0,1)

     

    Ora esprimiamo i vettore della base B' come combinazione lineare di vettori di B:

     

    (-1,2)=\alpha_1 (1,0)+\alpha_2 (0,1)

     

    (1,-2)=\alpha_3 (1,0)+\alpha_4 (0,1)

     

    è evidente che per verificare quelle uguaglianze dobbiamo avere

     

    \alpha_1=-1

     

    \alpha_2=2

     

    \alpha_3=1

     

    \alpha_4=-1

     

    Questi coefficienti, come ti dicevo nella prima risposta formano la matrice 2x2

     

    \left[\begin{matrix}-1 & 2\\1 & -1\end{matrix}\right]

     

    Questa è la metrice di cambiamento di base.

    Per passare dalla matrice di cambiamento di base da B a B' a quella da B' a B, è sufficiente sfruttare la relazione seguente: se M e la matrice da B a B' e M' quella da B' a B, allora

     

    M M^{\prime}=I

     

    dove I è l'identità.

    In questo caso

     

    \left[\begin{matrix}-1 & 2\\1 & -1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}\beta_1 & \beta_2\\\beta_3 & \beta_4\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right]

     

    quindi per la definizione di prodotto riga per colonna hai

     

    \left[\begin{matrix}-\beta_1+2\beta_3 &\beta_1-\beta_3\\-2\beta_2+2\beta_4 & \beta_2-\beta_4\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1 & 0\\0 & 1\end{matrix}\right]

     

    Ora basta uguagliare le entrate della matrice a sinistra dell'uguale con quelle della matrice a destra dell'uguale per trovare il sistema

     

    \left\{\begin{matrix}-\beta_1+2\beta_3=1\\\beta_1-\beta_3=0\\-2\beta_2+2\beta_4=0\\\beta_2-\beta_4=1\end{matrix}

     

    che ha come soluzione

     

    \beta_1=1

     

    \beta_2=2

     

    \beta_3=1

     

    \beta_4=1

     

    cioè la matrice

     

    \left[\begin{matrix}1 & 2\\1 & 1\end{matrix}\right]

    Risposta di Alpha
  • i risultati della proff sono diversi :

     

    MB1B = (-1 1

                     2  1)

    MBB1 = (-1/3 1/3

                  2/3  1/3)

    Cioè ha scritto MB1B = (-1 1

                                       2  1)

    e ha moltiplicato per la matrice identica :s

      


    Risposta di povi
  • Un errorino di copia incolla, a leggere lo svolgimento (super-svolgimento, a mio modesto parere) di Alpha si può accorgersene subito. Devi solo prendere come coefficiente

    \alpha_4=-2

    e poi proseguire nei calcoli con quel coefficiente. Il procedimento funziona perfettamente.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • però a me viene :

    1+2β3        2+2β4

    β1-2β3            β2-2β4

    E quando li metto in sistema non mi viene ! Hep :(

    Risposta di povi
  • Alt, stiamo facendo casino. È quello che succede quando in una domanda vengono postati 27 esercizi diversi :)

    Facciamo così: nuova domanda con ultimo esercizio. Risolviamo in 4 minuti netti.

    Risposta di Omega
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Algebra Lineare