Matrice di passaggio da una base alla base canonica di R^3

Question

Qual è e come si determina la matrice di passaggio da una base qualsiasi alla base canonica? Assegnato un insieme di tre vettori bisogna stabilire se è una base e, qualora lo fosse, si deve scrivere la matrice di cambiamento di base. Come si procede? Stabilire se mathcalB = (-1,2,1), (0,1,3), (1,-2,1) è una base di R^3 e, in caso affermativo, scrivere la matrice di passaggio da mathcalB alla base canonica di R^3.

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

In generale, se V è uno spazio vettoriale di dimensione n, un insieme formato da n vettori è una base di V se e solo se gli n vettori sono linearmente indipendenti. La dimensione dello spazio vettoriale R^3 è 3, dunque mathcalB = (-1,2,1), (0,1,3), (1,-2,1) è una base di R^3 se i vettori v_1 = (-1,2,1), v_2 = (0,1,3), v_3 = (1,-2,1) sono linearmente indipendenti. Per stabilirlo costruiamo la matrice che ha per righe v_1, v_2, v_3 A = [v_1 ; v_2 ; v_3] = [-1 2 1 ; 0 1 3 ; 1 -2 1] e calcoliamone il rango: se è pari a 3 sono indipendenti, e quindi formano una base. Procediamo col metodo di eliminazione gaussiana e riduciamo A in una matrice a gradini sostituendone la terza riga con la somma tra la prima e la terza R_3 → R_1+R_3 A conti fatti otteniamo la matrice ridotta A' = [-1 2 1 ; 0 1 3 ; 0 0 2] che ha 3 pivot, per cui il rango di A è 3 e mathcalB è una base di R^3. La matrice di cambiamento di base da mathcalB alla base canonica mathcalC di R^3 è quella matrice che ha per colonne i vettori di mathcalB, ossia M_(mathcalB → mathcalC) = [-1 0 1 ; 2 1 -2 ; 1 3 1] È tutto!