Soluzioni
  • In generale, se V è uno spazio vettoriale di dimensione n, un insieme formato da n vettori è una base di V se e solo se gli n vettori sono linearmente indipendenti.

    La dimensione dello spazio vettoriale \mathbb{R}^3 è 3, dunque

    \mathcal{B}=\{(-1,2,1), \ (0,1,3), \ (1,-2,1)\}

    è una base di \mathbb{R}^3 se i vettori

    \mathbf{v}_1=(-1,2,1), \ \mathbf{v}_2=(0,1,3), \ \mathbf{v}_3=(1,-2,1)

    sono linearmente indipendenti. Per stabilirlo costruiamo la matrice che ha per righe \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3

    A=\begin{pmatrix}\mathbf{v}_1 \\ \mathbf{v}_2 \\ \mathbf{v}_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1&2&1 \\ 0&1&3 \\ 1&-2&1\end{pmatrix}

    e calcoliamone il rango: se è pari a 3 sono indipendenti, e quindi formano una base.

    Procediamo col metodo di eliminazione gaussiana e riduciamo A in una matrice a gradini sostituendone la terza riga con la somma tra la prima e la terza

    R_3 \ \to \ R_1+R_3

    A conti fatti otteniamo la matrice ridotta

    A'=\begin{pmatrix}-1&2&1 \\ 0&1&3 \\ 0&0&2\end{pmatrix}

    che ha 3 pivot, per cui il rango di A è 3 e \mathcal{B} è una base di \mathbb{R}^3.

    La matrice di cambiamento di base da \mathcal{B} alla base canonica \mathcal{C} di \mathbb{R}^3 è quella matrice che ha per colonne i vettori di \mathcal{B}, ossia

    M_{\mathcal{B} \to \mathcal{C}} = \begin{pmatrix}-1&0&1 \\ 2&1&-2 \\ 1&3&1\end{pmatrix}

    È tutto!

    Risposta di Galois
 
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