Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to+\infty}(\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}-x)=(\bullet)

    genera una forma indeterminata del tipo [+\infty-\infty] che può essere sciolta mediante un'opportuna razionalizzazione.

    Il trucco algebrico consiste nello sfruttare adeguatamente il prodotto notevole

    a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

    riguardante appunto la scomposizione di una differenza di cubi. Nel caso in esame

    a=\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2} \ \ \ , \ \ \ b=x

    conseguentemente il fattore razionalizzante è dato da

    a^2+ab+b^2=\sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^4}+x\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}+x^2

    Tale fattore permette di eliminare la radice cubica presente nel limite e per fare in modo che ciò accada moltiplichiamo e dividiamo per tale termine l'intera funzione, ossia scriviamo:

    (\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\frac{(\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}-x)(\sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^4}+x\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}+x^2)}{\sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^4}+x\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}+x^2}=

    In accordo con il prodotto notevole relativo alla differenza di cubi, il numeratore coincide con la differenza tra il cubo del primo termine e il cubo del secondo termine, cioè

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{(\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2})^3-x^3}{\sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^4}+x\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}+x^2}=

    Dalla definizione di radicale segue che il cubo e la radice si semplificano a vicenda essendo una la funzione inversa dell'altra, pertanto il limite diventa

    =\lim_{x\to+\infty}\frac{(x-1)(x-2)^2-x^3}{\sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^4}+x\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}+x^2}=

    Al numeratore, una volta sviluppato il quadrato di binomio e calcolato il prodotto possiamo infine sommare tra loro i termini simili:

    \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{(x-1)(x^2-4x+4)-x^3}{\sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^4}+x\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}+x^2}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{-5x^2+8x-4}{\sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^4}+x\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}+x^2}=(\bullet\bullet)

    Tutti i passaggi algebrici svolti sinora non hanno risolto la forma di indecisione, più precisamente hanno fatto sì che giungessimo ad una forma indeterminata del tipo \left[\frac{\infty}{\infty}\right] che può essere risolta mediante il confronto tra infiniti.

    Al numeratore l'infinito di ordine superiore è dato dalla potenza con l'esponente maggiore, ossia -5x^2.

    Il denominatore richiede un'analisi attenta. Per x\to+\infty possiamo trascurare tutte le costanti additive pertanto

    - il termine

    \sqrt[3]{(x-1)^2(x-2)^4}

    si comporta asintoticamente come

    \sqrt[3]{x^2\cdot x^4}=x^2

    - il termine

    x\sqrt[3]{(x-1)(x-2)^2}

    si comporta asintoticamente come

    x\sqrt[3]{x\cdot x^2}=x^2

    - il termine x^2 si comporta asintoticamente come se stesso.

    Sostituiamo tali termini con le rispettive stime asintotiche così che il limite diventi

    \\ (\bullet\bullet)=\lim_{x\to+\infty}\frac{-5x^2}{x^2+x^2+x^2}= \\ \\ \\ =\lim_{x\to+\infty}\frac{-5x^2}{3x^2}=-\frac{5}{3}

    Il risultato si ottiene semplificando l'x^2 del numeratore con quello del denominatore.

    Finito.

    Risposta di Ifrit
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