Soluzioni
  • Arrivo Giulia! 

    Risposta di Alpha
  • Allora analizziamo la struttura di 

     

    \mathcal{P}(S)/\mathcal{R}

     

    In questo insieme vengono quozientati tutti i sottoinsiemi di S tali che 

     

    X\cap A=Y\cap A

     

    Ora osserviamo che A è un sottoinsieme di S. Dunque quali sono le possibilità considerando l'intersezione di X e A?

    Può essere vuota, quindi tutti gli elementi dell'insieme delle parti di S, cioè sottoinsiemi di S che non hanno elementi in comune con A vengono identificati dalla relazione, e quozientando hanno come rappresentante l'insieme vuoto.

    Un secondo caso è che l'intersezione tra X e A conti un solo elemento, sia 1. Allora tutti i sottoinsiemi di S che hanno intersezione con A uguale a 1 vengono identificati e un loro rappresentante potrebbe essere proprio l'insieme {1}.

    Questo discorso vale per tutti gli X che intersecati con A danno un insieme di cardinalità 1. 

    Procediamo: se l'intersezione dà come risultato un insieme di cardinalità 2, ad esempio {1,2}, allora tutti i sottoinsiemi di S tali che X∩A={1,2} vengono identificati da R passando al quoziente, scegliamo come rappresentante di questa classe proprio {1,2}.

     

    Capisci bene che a questo punto come rappresentanti delle classi dello spazio quoziente otteniamo tutti i possibili sottoinsiemi di A. Cioè proprio l'insieme delle parti di A che ha cardinalità

     

    \mathcal{P}(A)=2^4

    Ti torna fino qui Giulia? Dammi conferma e proseguiamo!

    Risposta di Alpha
  • quindi ci sonoa nche quelli di cardinalità 3 e 4 perchè A ha fino a 4 elementi,ci possono essere 4 elementi di X che stanno anche  in A ma comunque non ho capito perchè ha cardinalità proprio 24... e non 42????

    Risposta di Giulialg88
  • Per quanto riguarda la cardinalità dell'insieme è così perché è identica alla cardianlità dell'insieme delle parti di A. Sai che la cardinalità dell'insieme delle parti di un insieme di cardinalità n è proprio 2n

    Certo che possono esistere insiemi X che hanno in comune 4 elementi con A, cioè proprio l'insieme X1={1,2,3,4}, X2={1,2,3,4,5} , X3={1,2,3,4,5,6} , X4={1,2,3,4,6}. Ma sono tutti identificati nello spazio quoziente perché la loro intersezione con A dà proprio A!

    Risposta di Alpha
  • se |A|=n  |P(A)|=2n per una domostrazioen che ho fatto,ok,ma quindi l insieme quoziente è quello che avevo scritto prima?  {Ø,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{2,3,4},{1,2,4},{1,3,4},{1,2,3,4}}

    Risposta di Giulialg88
  • Si, e se provi a scrivere l'insieme delle parti di A ti renderai conto che è esattamente la stessa cosa...

    Risposta di Alpha
  • sisi ok tt chiaro.Ora {Ø} minimo {4} max??? e i minoranti di del sottoinsieme {T,D} (la parte del reticolo no,ho capito come si fa)

    Risposta di Giulialg88
  • Ok, procediamo!

    Risposta di Alpha
  • La relazione è indubbiamente di ordine parziale. Ora gli elementi minimali sono tutti quegli insiemi che intersecati con A danno come risultato l'insieme vuoto, infatti questi sono in relazione con tutti gli altri insiemi del tipo X∩A.

    Ad esempio pensa a X={5}, {6}, oppure {5,6}.. questi insiemi, se intersecati con A danno chiaramente l'insieme vuoto. Ovviamente anche X=Ø!

    Il massimo è invece l'insieme X={1,2,3,4}, infatti per ogni Y nelle parti di S Y∩A è contenuto in X, infatti X∩A=A.

     

    Consideriamo T={1,3,4,6} e D={2,3,5}. L'insieme {T,D} è contenuto nell'insieme delle parti di S. Ora vediamo se la coppia è confrontabile:

     

    T∩A={1,3,4} e D∩A={2,3}

    Ma questi due non sono uno incluso nell'altro e tantomento T=D. Dunque non è un reticolo!

    Risposta di Alpha
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