Soluzioni
  • Ciao Povi, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • "Allora Una base prima di tutto è massimale se 1)B è indipendente;2) se B C B' --> B' è dipendente ."

    Mmmh, non sono convinto. Se fissiamo una spazio vettoriale un insieme di vettori è una base se è un insieme di vettori linearmente indipendenti ed è un sistema di generatori per lo spazio.

    Che vuol dire "una base è massimale"?

    Forse intendi "un insieme di vettori è massimale"?

    La nozione di base massimale non esiste. Semmai, esistono insiemi di vettori linearmente indipendenti e massimali che quindi sono basi...

    Fin qui ci sei?

    Risposta di Omega
  • ho una definizone che dice :

    B=[vi/i∈I] è linearmende indipendente massimale se e solo se :

    1)B è indipendente

    2) se B C B' --> B' è dipendente

    Risposta di povi
  • Non vedo però scritto da nessuna parte che B è una base, in questa definizione...è solamente un insieme di vettori.

    Risposta di Omega
  • Però dopo ho scritto :

    teorema delle Basi :

    sia v un k-sp vettoriale e B una base sono equivalenti :

    1)B è una base

    2)B è parte libera massimale 

    3)B è sistema di generatori minimale etc.

    Io sulla due mi sono bloccato.

    Risposta di povi
  • Ok, ma le basi massimali non esistono. La definizione che hai dato è la definizione di insieme di vettori linearmente indipendente massimale, non di base massimale. L'insieme l'han chiamato B, ciò non vuol dire che B stia per base, avrebbero potuto anche chiamarlo "Pippofranco".

    Dandomi alla libera interpretazione della domanda, posso supporre che ti venga richiesto di dimostrare che:

    data una base B che è naturalmente un insieme di vettori linearmente indipendenti e massimale, e dato un sottoinsieme

    B'\subset B

    dimostrare che l'insieme B' è un insieme di vettori linearmente dipendenti.4

    Proviamo così?

    Risposta di Omega
  • Mi faresti un gran favore se riesci a dimostrarmelo xD

    Risposta di povi
  • Bè, ma questo non ha senso...Mi aspettavo una protesta da parte tua! Un sottoinsieme di vettori di una base può benissimo essere dipendente o indipendente. Non può però essere indipendente e contemporaneamente un sistema di generatori per lo spazio, a meno di non coincidere con la base stessa.

    Semmai, un sistema di vettori che contiene una base deve essere necessariamente dipendente!

    Risposta di Omega
  • Allora tralasciando le basi xD sapresti dirmi perchè 

    1)se in B' c'è un vettore che compare più di una volta B' è indipendente. 

    2)Se invece in B' non ci sono ripetizioni esiste un vettore v che appartiene a B' ma non a B. Poichè B genera V, v dipende da B e quindi anche da B'. Pertando anche qui B' è dipendente.??

    Risposta di povi
  • Ogni volta che hai problemi con gli spazi vettoriali, anche se è veramente noioso, sforzati di scrivere tutto: siano

     

     B=\{v_1,\ldots , v_n\}

     

    e

     

    B\subset B^{\prime}

     

    Se vale quell'inclusione significa che B' contiene tutti i vettori di B, più altri vettori, cioè

     

    B^{\prime}=\{v_1,ldots ,v_n,v_{n+1},\ldots ,v_p\}=\{v_1,ldots ,v_n\}\cup \{v_{n+1},\ldots , v_p\}=B\cup B_p

     

    Ho chiamiato Bp i vettori da vn+1 a vp per comodità.

    Ora il primo caso si riferisce al fatto che potrebbe verificarsi che un vettore in Bp coincida con un vettore in B. Se questo avviene certamente B' non può essere un insieme di vettori linearmente indipendenti!

     

    Il secondo caso ci dice invece che, supponendo che B sia una base, cioè un sistema massimale di vettori linearmente indiependenti, allora, necessariamente deve esistere un vettore in Bp, cioè un vettore il cui indice va da n+1 a p, tale che sia linearmente dipendente rispetto a quelli di B. Questo accade perché se B è una base, abbiamo detto che è massimale, non può esistere una base più grande di B, cioè composta da un numero di vettori maggiore.

     

    Ad esempio, considera lo spazio vettoriale R3 , la sua base canonica è data dai vettori

     

    \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\}

     

    Quei due casi si riferiscono al fatto che considerando qualunque insieme di vettori di R3 che contiene quella base ci sono due possibilità:

    1) l'insieme è composto esattamente da quei vettori e se ne ripete uno, o più di uno, identico.

    2) l'insieme risulta linearmente dipendente rispetto a quei vettori, ad esempio

     

    \{(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1), (1,1,1)\}

    Questo insieme contiene sicuramente la base canonica, ma chiaramente il quarto vettore è combinazione lineare degli altri tre:

     

    (1,0,0)+(0,1,0)+(0,0,1)=(1,1,1)

     

    Risposta di Alpha
  • Non riesco a capire perchè :

    Ora il primo caso si riferisce al fatto che potrebbe verificarsi che un vettore in Bp coincida con un vettore in B. Se questo avviene certamente B' non può essere un insieme di vettori linearmente indipendenti!

    Risposta di povi
  • Per il secondo caso ho capito :

    Riesco a trovare un vettore dipendende dalla base B come l'esempio della base canonica che hai fatto. Poichè B' è massimale e B è contenuto in B' abbiamo che questo vettore che dipende da B di conseguenza dipende anche da B'. Quindi se un vettore dipende da una base la base è dipendende?

    Correggimi....

    Risposta di povi
  • Non è la base che è dipendente è il vettore che è dipendente dalla base, cioè il vettore può essere scritto come combinazione lineare di vettori della base, nell'esempio bastava sommarli tutti, quindi una combinazione lineare a coefficienti 1.

     

    Per quanto riguarda l'altro caso un insieme di vettori in cui un vettore è ripetuto due volte non può essere linearmente indipendente.

    Infatti, ad esempio, è possibile determinare la lineare indipendenza di un certo insieme di vettori, (cioè se i vettori che lo compongono sono l.i. o meno), calcolando il rango della matrice che ha come colonne esattamente quei vettori.

    Se la matrice non ha rango massimo, allora i vettori sono linearmente dipendenti.

    Come dovresti sapere se una matrice ha due colonne identiche, ha determinante nullo.

    Cioè non ha rango massimo.

    Quindi se in un insieme di vettori ne trovi due uguali, puoi dire automaticamente che quel sistema è linearmente dipendente. Per concludere, se considerando B' troviamo un vettore che già stava in B, allora l'insieme di vettori B' non può essere linearmente indipendente, cioè i vettori che lo compongono non possono essere tra loro linearmente indipendenti.

     

    Credo che la tua confusione nasca da un problema di definizioni: i vettori possono essere linearmente dipendenti o linearmente indipendenti. Un sistema di vettori tutti linearmente indipendenti tra loro si dice sistema linearmente indipendente. Tutto qui. So che all'inizio, studiando algebra lineare si fa un sacco di confusione, ma prima o poi tutto inizia a quadrare!

    Risposta di Alpha
  • Quindi se il vettore compare più di una volta il sistema è linearmente dipendente, perchè calcolando il determinante di una matrice del tipo 2x2 con colonne uguali (quindi il vettore compare due volte) è zero e quindi non ha rango massimo e di conseguenza non è indipendente? sbaglio?

    Risposta di povi
  • Non sbagli! Ora il ragionamento è corretto!

    Risposta di Alpha
  • Ho capitooooo. Ora sto anche lacrimando xD . Grazie mille !

    Risposta di povi
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