Determinare l'ordine di infinitesimo

Per risolvere l'esercizio, bisogna determinare lo sviluppo in serie di Taylor - Mc Laurin (che è lo sviluppo di Taylor con centro ) dei tre addendi, effettuare varie ed eventuali semplificazioni calcolando le differenze e poi considerare il primo termine dello sviluppo.

Questo fornirà l'ordine di infinitesimo della funzione. Perché? Perché per x tendente a zero (cioè nell'intorno di zero) la funzione tende a zero:

dunque determinando il polinomio di Taylor centrato in zero della funzione siamo in grado di capire con quale velocità la funzione (intesa come ordinata y) sia avvicina a zero al tendere di x a zero. Cioè: nell'intorno di zero.

Hai già provato a calcolare lo sviluppo?

Namasté!

Ottima domanda, perché è proprio questo il succo del discorso. Nel caso considerato e ogni volta che ti viene chiesto di determinare l'ordine di infinitesimo di una funzione data dalla somma/differenza di funzioni, dovrai ricorrere allo sviluppo in serie di Taylor. Quando fermarsi nello sviluppo?

Devi fermarti al minimo ordine che garantisce una differenza sensibile tra i termini di grado corrispondente negli sviluppi delle singole funzioni.

Un esempio: la funzione e la funzione coincidono al primo ordine in un intorno di zero (i.e.: sviluppandole in serie di Taylor con centro ). Provare per credere: sviluppa in serie di Taylor la funzione seno di x, con centro zero e fermandoti al primo ordine (e se vuoi lo sviluppo preconfezionato, lo trovi nella tabella dei principali sviluppi di Taylor).

Se però procedi nello sviluppo di Taylor fino al terzo ordine, troverai un termine di grado 3 nel polinomio che differenzia la funzione seno di x dalla funzione identità x nell'intorno di zero. Un ordine di sviluppo 3 a cui fermarsi sarebbe più che sufficiente in questo caso. Dico 3 e non dico 2 perché il termine di grado 2 nello sviluppo di Taylor-Mc Laurin del seno di x centrato in zero è nullo (anche qui: provare per credere).

Nell'esercizio che proponi, io direi che è sufficiente fermarsi ad un ordine 3 nello sviluppo delle prime due funzioni (la terza, che è già un polinomio, evidentemente non devi svilupparla). Prova, e fammi sapere.

Namasté!

Perché è il primo termine che fa la differenza, ergo dei successivi te ne puoi anche fregare.

Io però ti ho chiesto di provare a fare lo sviluppo fino all'ordine tre, nell'esempio specifico non puoi capirlo a priori. Con l'esperienza (=mesi, anni) capirai al volo a quale ordine fermarti.

Ma adesso che hai appena cominciato a studiare Taylor non commettere l'errore di voler capire senza sporcarti le mani con i calcoli, fidati di me, fai lo sviluppo e poi ne parliamo. Non c'è niente di complicato. Poi avvisami! :)

Namasté!