Discussione problema trigonometrico con metodo grafico

Ho un problema geometrico-trigonometrico di cui devo effettuare la discussione usando il metodo grafico: riguarda una circonferenza e una retta tangente ad essa.

In una circonferenza di raggio è data una corda . Condotta la tangente in determina un punto della corda in modo che, detta la sua proiezione ortogonale sulla tangente, risulti:

Come si fa la discussione di questo problema? Grazie mille!

Domanda di Jumpy

Soluzioni

Proprio perché si parla di metodo grafico, ti consiglio di fare un disegno come il seguente e di seguire la mia risposta passo passo.

Il triangolo è un triangolo equilatero, perché hai due raggi e inoltre la corda che misura quanto al raggio. Tale lunghezza la chiamiamo .
Detta la proiezione ortogonale del punto sulla retta tangente, si ha che il segmento è ortogonale a tale retta.
Inoltre è ortogonale alla retta tangente perché il raggio che congiunge centro e punto di tangenza è ortogonale alla retta tangente.
L'angolo misura , perché è alterno interno all'angolo .
L'angolo misura , perché il triangolo HPB è un triangolo rettangolo.
Togli , togli , resta . Implicitamente abbiamo utilizzato il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è .
L'equazione da imporre è:
Chiamiamo . Possiamo espreimere:
Ricordando che si ha che:
ricorda infatti che .
Le due relazioni appena scritte si ottengono tramite un noto teorema goniometrico per i triangoli rettangoli.
Sostituiamo tutto nell'equazione, ottenendo:
Espandendo i conti, quella che ci rimane sarà un'equazione di secondo grado parametrica:
Il discriminante associato è
Esso è non negativo se e solo se . La radice quadrata del delta è:
In questo passaggio ho trasportato fuori dal segno di radice r, se non ricordi come si fa puoi leggere la lezione sulle proprietà dei radicali.
Le soluzioni dell'equazione sono:
.
Affinché le soluzioni siano accettabili dobbiamo richiedere che siano entrambe positive, perché tali valori rappresentano la lunghezza di un segmento.
Risposta di Ifrit