Soluzioni
  • Proprio perché si parla di metodo grafico, ti consiglio di fare un disegno come il seguente e di seguire la mia risposta passo passo.

     

    Problema goniometrico con equazione parametrica di secondo grado

     

    Il triangolo AOB è un triangolo equilatero, perché hai due raggi AO, BO e inoltre la corda AB che misura quanto al raggio. Tale lunghezza la chiamiamo r.

    Detta H la proiezione ortogonale del punto P sulla retta tangente, si ha che il segmento PH è ortogonale a tale retta.

    Inoltre OB è ortogonale alla retta tangente perché il raggio che congiunge centro e punto di tangenza è ortogonale alla retta tangente.

    L'angolo H\hat{P}B misura 60^{\circ}, perché è alterno interno all'angolo PBO.

    L'angolo H\hat{B}P misura 30^{\circ}, perché il triangolo HPB è un triangolo rettangolo.

    Togli 90^{\circ}, togli 60^{\circ}, resta 30^{\circ}. Implicitamente abbiamo utilizzato il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180^{\circ}.

    L'equazione da imporre è:

    2AP^2+PH^2+HB^2=m r^2

    Chiamiamo x:=AP. Possiamo espreimere:

    HP=\sin(30^{\circ})(r-AP)=\sin(30^{\circ})(r-x)

    Ricordando che \sin(30^{\circ})\frac{1}{2} si ha che:

    HP=\frac{1}{2}(r-x)

    HB=\sin(60^{\circ})(r-AP)=\frac{\sqrt{3}}{2}(r-x)

    ricorda infatti che \sin(60^{\circ})\frac{\sqrt{3}}{2}.

    Le due relazioni appena scritte si ottengono tramite un noto teorema goniometrico per i triangoli rettangoli.

    Sostituiamo tutto nell'equazione, ottenendo:

    2AP^2+PH^2+HB^2=mr^2\iff 2x^2+\frac{1}{4}(r-x)^2+\frac{3}{4} (r-x)^2=mr^2

    Espandendo i conti, quella che ci rimane sarà un'equazione di secondo grado parametrica:

    3x^2-2r x-(m-1)r^2=0

    Il discriminante associato è 

    \Delta= (-2r)^2-4\cdot 3\cdot(-(m-1)r^2)=4 (3m-2)r^2

    Esso è non negativo se e solo se 3m-2\ge 0\iff m\ge \frac{2}{3}. La radice quadrata del delta è:

    \sqrt{4 (3m-2)r^2}=2r\sqrt{3m-2}

    In questo passaggio ho trasportato fuori dal segno di radice r, se non ricordi come si fa puoi leggere la lezione sulle proprietà dei radicali.

    Le soluzioni dell'equazione sono:

    x_{1,2}=\frac{r\pm r\sqrt{3m-2}}{3}=\frac{r (1\pm \sqrt{3m-2})}{3}.

    Affinché le soluzioni siano accettabili dobbiamo richiedere che siano entrambe positive, perché tali valori rappresentano la lunghezza di un segmento.

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Scuole Superiori - Geometria