Soluzioni
  • Proprio perché si parla di metodo grafico, ti consiglio di fare un disegno come il seguente e di seguire la mia risposta passo passo.

     

    Problema goniometrico con equazione parametrica di secondo grado

     

    Il triangolo AOB è un triangolo equilatero, perché hai due raggi AO, BO e inoltre la corda AB che misura quanto al raggio. Tale lunghezza la chiamiamo r.

    Detta H la proiezione ortogonale del punto P sulla retta tangente, si ha che il segmento PH è ortogonale a tale retta.

    Inoltre OB è ortogonale alla retta tangente perché il raggio che congiunge centro e punto di tangenza è ortogonale alla retta tangente.

    L'angolo H hatPB misura 60°, perché è alterno interno all'angolo PBO.

    L'angolo H hatBP misura 30°, perché il triangolo HPB è un triangolo rettangolo.

    Togli 90°, togli 60°, resta 30°. Implicitamente abbiamo utilizzato il fatto che la somma degli angoli interni di un triangolo è 180°.

    L'equazione da imporre è:

    2AP^2+PH^2+HB^2 = m r^2

    Chiamiamo x: = AP. Possiamo espreimere:

    HP = sin(30°)(r-AP) = sin(30°)(r-x)

    Ricordando che sin(30°)(1)/(2) si ha che:

    HP = (1)/(2)(r-x)

    HB = sin(60°)(r-AP) = (√(3))/(2)(r-x)

    ricorda infatti che sin(60°)(√(3))/(2).

    Le due relazioni appena scritte si ottengono tramite un noto teorema goniometrico per i triangoli rettangoli.

    Sostituiamo tutto nell'equazione, ottenendo:

    2AP^2+PH^2+HB^2 = mr^2 ⇔ 2x^2+(1)/(4)(r-x)^2+(3)/(4) (r-x)^2 = mr^2

    Espandendo i conti, quella che ci rimane sarà un'equazione di secondo grado parametrica:

    3x^2-2r x-(m-1)r^2 = 0

    Il discriminante associato è 

    Δ = (-2r)^2-4·3·(-(m-1)r^2) = 4 (3m-2)r^2

    Esso è non negativo se e solo se 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥ (2)/(3). La radice quadrata del delta è:

    √(4 (3m-2)r^2) = 2r√(3m-2)

    In questo passaggio ho trasportato fuori dal segno di radice r, se non ricordi come si fa puoi leggere la lezione sulle proprietà dei radicali.

    Le soluzioni dell'equazione sono:

    x_(1,2) = (r±r√(3m-2))/(3) = (r (1±√(3m-2)))/(3).

    Affinché le soluzioni siano accettabili dobbiamo richiedere che siano entrambe positive, perché tali valori rappresentano la lunghezza di un segmento.

    Risposta di Ifrit
 
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