Soluzioni
  • In tal caso il limite è

    \lim_{x\to\infty}{\frac{2x^4-1}{x^5\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}\left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x^2}}

    Al primo fattore puoi ricorrere al limite notevole del seno

    \frac{2x^4-1}{x^5\sin{\left(\frac{1}{x}\right)}}\sim\frac{2x^4-1}{x^5\frac{1}{x}}}\rightarrow 2

    quando x tende ad infinito (+ o - non importa, tanto c'è una potenza pari di mezzo).

    Il secondo fattore lo puoi riscrivere come

    \left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x^2}=e^{x^2\log{\left(\frac{x-1}{x+3}\right)}}=e^{\frac{\left(\frac{x-1}{x+3}\right)}{\frac{1}{x^2}}}

    e si deduce che il rapporto all'esponente tende a +infinito, quindi l'esponenziale tende a +infinito, quindi il limite complessivo vale infinito.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • nel primo limite, "sin" dove è andato a finire?

    Risposta di mery
  • È presto detto: tu sai che vale il limite notevole

    \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{x}}=1

    Se al posto della x hai una qualsiasi funzione f(x), purché tenda a zero nel passaggio al limite, vale equivalentemente il limite notevole

    \lim_{x\to qualcosa}{\frac{\sin{(f(x))}}{f(x)}}=1

    ripeto: a patto che, per x\rightarrow qualcosa, risulti f(x)\rightarrow 0, e quindi puoi sostituire nel limite

    \sin{(f(x))}\sim f(x).

    Il discorso si applica alla perfezione nel nostro caso, perché per x\rightarrow \infty risulta

    f(x)=\frac{1}{x}\rightarrow 0

    e quindi sostituiamo

    \sin{\left(\frac{1}{x}\right)}\sim \frac{1}{x}.

    Così è più chiaro?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Si in questo caso ho capito, ma se si presentasse un'altro caso non sò se saprò applicare il limite notevole, comunque nel caso ti chiederò.....

    GRAZIE....

    Risposta di mery
  • Ricordati che noi siamo qui Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Scusami Omega, riguardandolo mi è venuto un dubbio.

    Nel secondo fattore  a me viene: e-∞=0. Non sò dovè che sbaglio.

    Risposta di mery
  • Devi solo osservare che, indipendentemente dal segno dell'infinito cui fai tendere la x, ottieni:

    e^{\frac{\frac{x-1}{x+3}}{\frac{1}{x^2}}}\rightarrow e^{\frac{+1}{0^+}}\mbox{"="}e^{+\infty}\mbox{"="}+\infty

    ho usato un po' di Algebra degli infiniti e degli infinitesimi, nulla più. Wink

    Non devi scusarti!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ti faccio vedere quello che ho fatto io.

    lim x-->-oo ex^2*((x-1)/x+3))-1=....x2(-4)/x+3=-oo

    Risposta di mery
  • Ma manca un logaritmo all'esponente...

    Risposta di Omega
  • io adotto questa formula:f(x)g(X)=g(x)*(f(x)-1)

     

    Risposta di mery
  • Ed ecco l'errore. :) 

    È vero che

    f(x)^{g(x)}=e^{\log{f(x)^{g(x)}}}=e^{g(x)\log{(f(x))}}

    ma non è vero che

    f(x)^{g(x)}=g(x){(f(x)-1)}}

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • No  Cry perchè non è vero..........., è una formula più facile da usare e che mi dà lo stesso risultato di quella che usa il log......(ti prego dimmi che è così........non smontare la mia teoria....Cry)

    Risposta di mery
  • Detesto fare il bastian contrario, ma non funziona: se vuoi un controesempio

    f(x)=x

    e

    g(x)=2

    con la tua formula troveresti

    x^2=2x-2

    che evidentemente non è vero...Frown

    Risposta di Omega
  • invece utilizzando la formula del log, quanto viene?

     

    Risposta di mery
  • x^2=e^{2\log{x}}=e^{\log{x^2}}=x^2

    per definizione stessa del logaritmo.

    Risposta di Omega
  • ma c'è qualche eccezione forse su dove la posso utilizzare?

    Io lo usata diverse volte e mi ha dato un risultato esatto Cry

    Risposta di mery
  • La fortuna però non è eterna. Fidati: lascia perdere quella formula Wink perché è sbagliata. Magari l'hai usata in qualche limite in cui, nel complesso, il termine cui l'hai applicata non era rilevante.

    Risposta di Omega
  • il fatto è che con il log mi perdo nei calcoli.....

    Mi spieghi come si usa la formula con log

     

    Risposta di mery
  • Segue dalla definizione di logaritmo. Dai un'occhiata qui. Il logaritmo è quel numero tale che elevando la base al numero stesso (il logaritmo) si ottiene proprio l'argomento del logaritmo.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • ok Omega ,studierò la lezione......

    Grazie per quello che fai.....

    Risposta di mery
  • Prego! Qui ti ho risposto io, ma giro il grazie anche a tutti i miei colleghi dello Staff Wink

    Io sono solo una piccola parte del tutto.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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