Soluzioni
  • Il limite

    \lim_{x\to0^{+}}x\ln(2x^2+x)=(\bullet)

    genera una forma indeterminata del tipo [0\cdot (-\infty)] che possiamo risolvere riconducendoci al limite noto

    \lim_{x\to0^{+}}x\ln(x)=0

    Tendenzialmente non è considerato un limite notevole ma è così frequente che è opportuno tenerlo a mente.

    Come facciamo a ricondurci al limite noto? Per prima cosa raccogliamo totalmente all'interno del logaritmo una x

    (\bullet)=\lim_{x\to0^{+}}x\ln(x (2x+1))=(\bullet\bullet)

    dopodiché utilizziamo la proprietà del logaritmo di un prodotto

    \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b) \ \ \ \mbox{per} \ a>0, \ b>0

    mediante la quale il limite diventa

    (\bullet\bullet)=\lim_{x\to0^{+}}x(\ln(x)+\ln(2x+1))=

    Distribuiamo x e in seguito scriviamo il limite della somma come somma di limiti

    =\lim_{x\to0^{+}}(x\ln(x)+x\ln(2x+1))=\lim_{x\to0^{+}}x\ln(x)+\lim_{x\to0^{+}}x\ln(2x+1)

    Il primo è esattamente il limite noto e vale 0, il secondo limite invece si calcola per sostituzione diretta e vale 0. In definitiva possiamo concludere che il limite iniziale è 0 perché somma di limiti nulli

    \lim_{x\to0^{+}}x\ln(2x^2+x)=\lim_{x\to0^{+}}x\ln(x)+\lim_{x\to0^{+}}x\ln(2x+1)=0

    Abbiamo terminato.

    Risposta di Ifrit
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