Dominio codominio immagini e controimmagini

Ragazzi devo trovare dominio e codominio, immagini e controimmagini per una funzione fratta con modulo. Ecco il testo, mi aiutate?

Una funzione f è rappresentata dall'equazione

y = 2+(|x-3|)/(3)

Determinare il dominio, il codominio, l'immagine di 5 e le controimmagini di 6. La funzione è invertibile?

Non la so proprio fare! >.< 

Domanda di Francesca
Soluzioni

Ciao Francesca, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Nel nostro caso, data la funzione

y = 2+(|x-3|)/(3)

per trovare il dominio, guardiamo in faccia la funzione e vediamo che non ci sono problemi: è continua su tutto R, quindi in particolare ha dominio l'intero asse reale.

Per trovare l'immagine della funzione***, è sufficiente osservare che il modulo produce immagini sempre positive (o alla peggio nulle), inoltre abbiamo un addendo +2 che trasla il grafico verso l'alto. Non dovrebbe essere difficile vedere che l'immagine della funzione è data dalla funzione 

[2,∞)

Per quanto riguarda l'immagine di 5, ci basta valutare

f(5) = 2+(|5-3|)/(3) = 2+(2)/(3) = (8)/(3)

e invece per trovare la o le preimmagini dell'ordinata y=6 risolviamo l'equazione

2+(|x-3|)/(3) = 6

da cui

|x-3| = 12

togliamo il modulo

x-3 = ±12

e troviamo come due soluzioni

x = 15, -9

Di conseguenza la funzione non è iniettiva e dunque non può essere invertibile.

Namasté!

________

***ATTENZIONE: il tuo testo usa impropriamente il termine codominio per indicare quella che in realtà è l'immagine della funzione. DOPPIA ATTENZIONE: sono termini che spesso anche ceti professori confondono, ma non individuano lo stesso ente!

Risposta di Omega

Grazie mille, ho capito come si fa! 

Risposta di Francesca

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