Oscillatore armonico chiarimenti!

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Il mio libro spiega fino a Fel= -k(x-x0)i versore

poi dice L'equazione della dinamica F=ma proiettata sull'asse x fornisce :

-k(x-x0)= md^2x/dt^2 che si può scrivere anche -k(x-x0)= md^2(x-x0)/dt^2 e fino a qui nulla questio xd ma poi mi dice :

e cioè , con w0= (k/m)^1/2 e x=x-x0: d^2x/dt^2=-w0^2x detta

Equazione dell'oscillatore Armonico.

ed è proprio questo punto che non comprendo!!! come fa a fare la magia di scrivere

w0= (k/m)^1/2

 

????


Domanda di 904

 
Soluzioni

  • Ciao 904, ci ragiono un po' su e ti rispondo :)

    Risposta di Ifrit

  • Ok partiamo:

     

    F_(el)_x = -k (x_t-x_0) i

    Dal secondo principio di Newton sappiamo che F_(el)_x = m a_x

    dove a_x: = (d^2)/(dt^2) (x_t-x_0)

    Uguagliando le due espressioni otteniamo:

    m(d^2)/(dt^2) (x_t-x_0) =  -k (x_t-x_0) qquad (1)

     

    dividendo ambo i membri per la massa:

    (d^2)/(dt^2) (x_t-x_0) =  -(k)/(m) (x_t-x_0)

    a questo punto pone 

    ω_0 = √((k)/(m))

    per mettere in evidenza la similitudine con l'equazione dell'oscillatore armonico:

    (d^2)/(dt^2) (x_t-x_0)+ω_0 (x_t-x_0) = 0

    ω_0 è detta pulsazione ed ha dimensioni dell'inverso di un tempo.

     

    Quindi non ha fatto nessuna magia, ha solo cambiato nome per mettere in evidenza come (1) sia in realtà l'equazione dell'oscillatore armonico.

    Risposta di Ifrit

  • Minima correzione della massima importanza: l'equazione dell'oscillatore armonico non è

    (d^2)/(dt^2)(x_t-x_0)+ω_0(x_t-x_0) = 0

    bensì

    (d)/(dt^2)(x_t-x_0)+ω_0^2 (x_t-x_0) = 0

    Per farmi perdonare, cercherò di essere più chiaro del perché si pone ω_0 = √((k)/(m)).

    L'equazione differenziale del secondo ordine:

    (d^2)/(dt^2)(x_t-x_0) = -(k)/(m)(x_t-x_0)

    può essere riscritta come:

     

    (d)/(dt^2)(x_t-x_0)+(k)/(m) (x_t-x_0) = 0 qquad (1)

    ponendo ω_0 = √((k)/(m)) segue che ω_0^2 = (k)/(m), pertanto l'equazione (1) si riscrive come:

    (d)/(dt^2)(x_t-x_0)+ω_0^2 (x_t-x_0) = 0

    che è proprio l'equazione dell'oscillatore armonico.

    Spero sia chiaro :)

    Risposta di Ifrit

  • grazieeeeeeee mille davvero sto da qualche settimana per capirlo!!!!!!!

    Risposta di 904
 
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