Soluzioni
  • Per poter definire correttamente cos'è un gruppo dobbiamo disporre di una struttura algebrica (G,+) dove:

    \bullet \ \ \  G è un insieme non vuoto, detto sostegno della struttura;

    \bullet \ \ \ +: G\times G\to G è un'operazione binaria che a una coppia di elementi di G associa un elemento di G.

    Attenzione! + è un simbolo generico per indicare un'operazione: non indica necessariamente l'addizione tra due numeri.

    Definizione di gruppo

    Un insieme G su cui è definita un'operazione binaria +:G\times G\to G è un gruppo se e solo se valgono i seguenti assiomi.

    1. Proprietà associativa: dati tre elementi di G, che denotiamo con a,b,c, allora:

    (a+b)+c=a+(b+c)

    2. Esistenza dell'elemento neutro: esiste un elemento di G, indicato solitamente con e, tale che

    a+e=e+a=a \ \ \ \forall a\in G

    e è detto elemento neutro rispetto all'operazione +.

    3. Esistenza dell'inverso: per ogni elemento a di G esiste un elemento a' tale che

    a+a'=a'+a=e

    Se a queste proprietà si aggiunge la commutatività dell'operazione +, se vige cioè l'assioma

    a+b=b+a \ \ \ \forall a,b\in G

    allora diremo che (G,+) è un gruppo abeliano.

    Sottolineiamo che la definizione di gruppo non dipende esclusivamente dall'insieme G, ma anche dall'operazione +: non dovremo quindi meravigliarci se un insieme sarà un gruppo rispetto a un'operazione +, mentre non lo sarà se su di esso è definita un'operazione diversa \oplus.

    (ℕ,+) non è un gruppo abeliano

    L'insieme dei numeri naturali, munito dell'usuale addizione, non è un gruppo abeliano perché essenzialmente non è un gruppo.

    Se da un lato esiste l'elemento neutro dell'addizione, che è e=0, non possiamo dire lo stesso dell'elemento inverso. Dato n\in\mathbb{N}-\{0\}, non esiste alcun numero naturale n' tale che

    n+n'=n'+n=0

    e questo basta per concludere che (\mathbb{N},+) non è un gruppo, tanto meno è un gruppo abeliano.

    Risposta di Ifrit
 
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