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  • Ciao Povi,

    per avere a che fare con un gruppo dobbiamo disporre di una struttura algebrica (un insieme) su cui sia definita un'operazione.

    L'operazione, che indichiamo con + (attenzione: è solo un nome, potrebbe chiamarsi anche "#") deve essere un'operazione binaria associativa.

    L'insieme deve contenere l'elemento neutro rispetto all'operazione considerata, che in notazione additiva si indica con 0. Anche questo è solo un nome.

    Inoltre, l'insieme deve essere chiuso rispetto all'operazione considerata, cioè dati a,b nell'insieme a+b deve appartenere all'insieme.

    Infine, l'insieme deve contenere l'inverso di ogni suo elemento rispetto all'operazione: in notazione additiva, l'inverso di un elemento a si indica con -a, ed è quell'elemento tale che a+(-a)=0=(-a)+a.

    Ora è evidente che prendendo (N,+), cioè l'insieme dei numeri naturali dotato della somma + (questa volta + non è solo un nome, ma è l'operazione che ben conosciamo: la somma) non è vero che per ogni elemento di N abbiamo, in N, l'inverso additivo.


    In particolare un gruppo abeliano è un gruppo in cui l'operazione considerata è commutativa.


    Dunque N non è un gruppo abeliano e nemmeno un gruppo.


    Un esempio di gruppo additivo abeliano è (Z,+), l'insieme dei numeri relativi, gli interi con segno, dotato della solita operazione di somma.

    Risposta di Omega
  • Non potevi spiegare meglio xD . Grazie.

    Risposta di povi
  • Però non ho capito perchè se nelle matrici non vale la proprietà commutativa l'insieme delle matrici m,n a coefficiente R sia abeliano.

     

    Risposta di povi
  • E poi in N il simmetrico non è zero?

    Risposta di povi
  • Attenzione: tutto dipende da quale operazione consideri su Mat(m x n,R). Perchè se consideri la somma, allora è sicuramente abeliano, ma se consideri il prodotto riga per colonna cambia tutto!

    Se consideri (Mat(m x n,R),+) perchè ti stupisce che sia abeliano?

    Risposta di Omega
  • ...e cosa intendi con simmetrico? L'inverso? Lo 0 è l'elemento neutro rispetto alla somma, gli inversi additivi sono gli opposti che però non stanno in N...

    Risposta di Omega
  • Non riesco a capire perchè (Z, +) è abeliano e (Z, per) non lo sia. L'elemento neutro c'è, il simmetrico è 1 e-1 il problema dove sta?

    Risposta di povi
  • (Z,+) è un gruppo, ed è abeliano, mentre

    (Z,*) non è un gruppo.

    Perchè?

    Perchè ogni elemento di (Z,*) dovrebbe avere inverso moltiplicativo, e questo non è vero.

    1 ha inverso moltiplicativo, che è 1 e sta in Z.

    2 non ha inverso moltiplicativo, come nessun elemento in Z che non sia 1. L'inverso moltiplicativo sarebbe 1/2 che non sta in Z, perchè Z contiene solamente gli interi con segno...

    Risposta di Omega
  • Ma quando sento dire che : 

    dato "a" che appartiene ad S con S monoide

    esiste almeno un a' tale che a' * a=a * a' = all'elemento neutro 

    l'elemento simmetrizzabile

     è l'inverso cambiato di segno( esempio 2 e -2) oppure quello moltiplicativo (2 e 1/2)?

    Risposta di povi
  • oppure dipende dall'operazione? se è somma è per esempio 3 e -3 e se è prodotto 1/3?

    Risposta di povi
  • Esattamente, dipende dall'operazione!

    Se ad esempio hai un monoide dotato di somma +, allora l'inverso additivo di un elemento a è -a

    Se hai un monoide dotato di moltiplicazione *, allora l'inverso moltiplicativo di un elemento a è a-1

    Attenzione: quando si parla di monoidi, gruppi, etc tutto dipende dall'operazione! Infatti abbiamo visto che una steso insieme (Z) può essere un gruppo rispetto ad una operazione ma non rispetto ad un'altra! E capisco che possa confondere come cosa, ma è solamente questione di capire che un insieme non è un gruppo e basta. È o non è un gruppo rispetto ad una determinata operazione...

    Risposta di Omega
  • Ok grazie mille ! Finalmente ho capito. Grazie ancora.

     

    Risposta di povi
 
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