esercizio iniettività,suriettività,omomorfismo

Posto S = {1,2,3,4,5,6} e A = {1,2,3,4}, si consideri la seguente applicazione:

f: X €P(S) --> X∩A€P(A)

Si studino iniettività e suriettività di f, e si determinino le controimmagini f^-1(Ø) e f^-1(A).

Cerchiamo di capire se l'applicazione è iniettiva. Non dovrebbe essere difficile capire che non lo è: basta osservare che ha preimmagini

Per quanto riguarda la suriettività, la funzione è certamente suriettiva, e ciò è dovuto al fatto che l'insieme di definizione dell'applicazione è l'insieme delle parti di un insieme che contiene l'insieme di cui consideri l'insieme delle parti, che è il codominio dell'applicazione stessa.

Per quanto riguarda le controimmagini, l'insieme vuoto ha controimmagine proprio l'insieme vuoto e puoi scrivere

mentre l'insieme A ha le controimmagini di cui abbiamo parlato poche righe sopra.

Per vedere che è un omomorfismo, bisogna verificare che conserva l'operazione tra le due strutture, e questo è vero: devi verificare che

dopo aver riscritto l'intersezione dei quattro insiemi in modo opportuno.

Namasté!