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  • Ciao Giulialg88, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Posto S = {1,2,3,4,5,6} e A = {1,2,3,4}, si consideri la seguente applicazione:

    f: X €P(S) --> X∩A€P(A)

    Si studino iniettività e suriettività di f, e si determinino le controimmagini f-1(Ø) e f-1(A).

    Cerchiamo di capire se l'applicazione X\cap A =f(X) è iniettiva. Non dovrebbe essere difficile capire che non lo è: basta osservare che \{1,2,3,4\} ha preimmagini

    \{1,2,3,4,5,6\}

    \{1,2,3,4,5,\}

    \{1,2,3,4\}

    Per quanto riguarda la suriettività, la funzione è certamente suriettiva, e ciò è dovuto al fatto che l'insieme di definizione dell'applicazione è l'insieme delle parti di un insieme che contiene l'insieme di cui consideri l'insieme delle parti, che è il codominio dell'applicazione stessa.

    Per quanto riguarda le controimmagini, l'insieme vuoto ha controimmagine proprio l'insieme vuoto e puoi scrivere

    f^{-1}(\emptyset)=\emptyset

    mentre l'insieme A ha le controimmagini di cui abbiamo parlato poche righe sopra.

    Per vedere che f è un omomorfismo, bisogna verificare che conserva l'operazione tra le due strutture, e questo è vero: devi verificare che

    f(X\cap Y)=(X\cap Y)\cap A =(X\cap Y)\cap A\cap A = f(X)\cap f(Y)

    dopo aver riscritto l'intersezione dei quattro insiemi in modo opportuno.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • potresti spiegarmi meglio la parte riguardante l omomorfismo per favore?

    Risposta di Giulialg88
  • Vuoi dimostrare che

    f(X\cap Y)=f(X)\cap f(Y)

    quindi ti basta osservare che

    f(X\cap Y)=(X\cap Y)\cap A=X\cap Y\cap A

    dove evidentemente

    A=A\cap A

    quindi

    f(X\cap Y)=(X\cap Y)\cap A=X\cap Y\cap A=X\cap Y\cap A\cap A

    per la commutatività dell'intersezione

    X\cap A\cap Y\cap A=f(X)\cap f(Y)

    così va meglio?

    Namasté!

    Risposta di Omega
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