Soluzioni
  • Ciao remaxer, il tempo di scrivere la soluzione e sarò da te :)

    Risposta di Ifrit
  • Abbiamo la disequazione logaritmica

    \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(16-9x^2)<-2

    La prima cosa che bisogna fare in questi casi è valutare l'insieme di esistenza. Il logaritmo, per esistere, pretende che il suo argomento sia maggiore di zero.

    Abbiamo dunque:

    16-9x^2>0

    E' una disequazione di secondo grado propria. L'insieme soluzione è:

    C.E.=\left(-\frac{4}{3},\frac{4}{3}\right)

    Ed è anche il nostro caro insieme di esistenza.

    Andiamo a risolvere ora la disequazione:

    \log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(16-9x^2)<-2

    Per risolverlo in modo veloce è sufficiente applicare ad ambo i membri la funzione inversa del logaritmo in base \frac{1}{\sqrt{7}}, stando attenti al verso della disequazione. Nota infatti che la base del logaritmo è minore di uno :)

    \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(16-9x^2)}>\left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2}

     

    Vediamo cosa succede:

    \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{\log_{\frac{1}{\sqrt{7}}}(16-9x^2)}= 16-9x^2

    perché il logaritmo e l'esponenziale "si semplificano".

    \left(\frac{1}{\sqrt{7}}\right)^{-2}= 7

    per le bellissime proprietà delle potenze.

    La disequazione originale diventa quindi:

    16-9x^2>7

    -9x^2>-9

    da cui cambiando il segno e il verso della disequazione:

    9x^2<9

    x^2<1

    L'insieme soluzione è quindi: S=(-1, 1) e non crea problemi con il dominio. :)

     

     

     

     

    Risposta di Omega
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