Soluzioni
  • Ciao Xavier310, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • La successione che proponi è la cosiddetta "successione delle code" della serie geometrica di ragione 1/2, cioè della serie

    \sum_{k=0}^{+\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^k}

    Questa serie è notoriamente convergente, quindi necessariamente la successione data dalle code deve convergere a zero e deve essere monotona strettamente decrescente.

    Infatti, se consideri la successione delle somme parziali

    s_{n}=\sum_{k=0}^{n}{\left(\frac{1}{2}\right)^k}

    saprai di certo che la serie converge ad un valore se e solo se converge a tale valore la successione delle somme pariali.

    Osserva che si può scrivere la serie come

    \sum_{k=0}^{+\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^k}=s_n+r_n

    e poichè la serie vale in particolare

    \sum_{k=0}^{+\infty}{\left(\frac{1}{2}\right)^k}=2

    abbiamo che

    s_n+r_n=2

    da cui

    r_n=2-s_n

    e quindi dato che la serie delle somme parziali converge a 2 ed è crescente, la successione delle code deve convergere a zero e deve essere decrescente.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • A proposito: la serie geometrica è convergente se e solo se la ragione, cioè la base q della serie

    \sum_{k=0}^{+\infty}{q^k}

    è compresa tra:

    q\in(-1,1).

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Quando non si può ricorrere al "notoriamente" per verificare che una serie è convergente la confronto con una serie nota? (uno dei possibili metodi)?

    Per verificare la monotonia prendo due membri della successione e li confronto in generale?

    Poi non ho capito questa notazione

    Osserva che si può scrivere la serie come

    sum_{k=0}^{+infty}{left(frac{1}{2}right)^k}=s_n+r_n

    perchè dovrei scriverla in questo modo.

    Lo so che sono un po pesante, ma vorrei essere più sicuro ogni qualvolta mi trovi ad eseguire un esercizio con la convergenza e la monotonia di una serie Yell =(

     

     

    Risposta di xavier310
  • La scrittura sn+rn significa che 

     

    \sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k=\sum_{k=0}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k+\sum_{k=n+1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^k

     

    Omega voleva che la scrivessi in questo modo per farti vedere che le code della serie devono necessariamente andare a 0, altrimenti la serie ottenuta come somma si sed rn ,come potrebbe convergere?

     

    Per la monotonia puoi considerare il rapporto tra il termine (k+1)-esimo e il termine k-esimo della serie. Se questo è minore di 1, allora il termine k-esimo è più grande del termine (k+1)-esimo, quindi i termini della serie decrescono monotonamente:

     

    \frac{\frac{1}{2^{k+1}}}{\frac{1}{2^k}}=\frac{1}{2}

     

    dunque i termini della serie decrescono al crescere di k. Cioè la successione

     

    \left\{\frac{1}{2^k}\right\}

     

    è monotona decrescente!

    Ora hai una serie che ha solo termini positivi, il cui argomento è una successione monotona decrescente, inoltre il limite per k che tende a più infinto dell'argomento è 0. Come potrebbe divergere una serie di questo tipo?

    Risposta di Alpha
  • Ok Alpha. Per il momento è chiaro :) ma credo di rifarmi vivo presto Tongue ti ringrazio :)

     

    Risposta di xavier310
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