Esercizio sulle successioni per capire alcuni concetti

Avrei bisogno di aiuto nel risolvere questo esercizio con l'intendo di capire alcuni concetti sulle successioni

Sia r_1,r_2,... la successione

r_n = Σ_(k = n)^(∞) 1 over2^k

verificare se la successione è monotona

verificare se è convergente

Inoltre volevo capire: la serie geometrica è sempre convergente?

Domanda di xavier310
Soluzioni

Ciao Xavier310, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

La successione che proponi è la cosiddetta "successione delle code" della serie geometrica di ragione 1/2, cioè della serie

Σ_(k = 0)^(+∞)((1)/(2))^k

Questa serie è notoriamente convergente, quindi necessariamente la successione data dalle code deve convergere a zero e deve essere monotona strettamente decrescente.

Infatti, se consideri la successione delle somme parziali

s_(n) = Σ_(k = 0)^(n)((1)/(2))^k

saprai di certo che la serie converge ad un valore se e solo se converge a tale valore la successione delle somme pariali.

Osserva che si può scrivere la serie come

Σ_(k = 0)^(+∞)((1)/(2))^k = s_n+r_n

e poichè la serie vale in particolare

Σ_(k = 0)^(+∞)((1)/(2))^k = 2

abbiamo che

s_n+r_n = 2

da cui

r_n = 2-s_n

e quindi dato che la serie delle somme parziali converge a 2 ed è crescente, la successione delle code deve convergere a zero e deve essere decrescente.

Namasté!

Risposta di Omega

A proposito: la serie geometrica è convergente se e solo se la ragione, cioè la base q della serie

Σ_(k = 0)^(+∞)q^k

è compresa tra:

q∈(-1,1).

Namasté!

Risposta di Omega

Quando non si può ricorrere al "notoriamente" per verificare che una serie è convergente la confronto con una serie nota? (uno dei possibili metodi)?

Per verificare la monotonia prendo due membri della successione e li confronto in generale?

Poi non ho capito questa notazione

Σ_(k = 0)^(+∞)((1)/(2))^k = s_n+r_n

perché dovrei scriverla in questo modo?

Lo so che sono un po' pesante, ma vorrei essere più sicuro ogni qualvolta mi trovi ad eseguire un esercizio con la convergenza e la monotonia di una serie. :)

Risposta di xavier310

La scrittura sn+rn significa che 

Σ_(k = 0)^(∞)((1)/(2))^k = Σ_(k = 0)^(n)((1)/(2))^k+Σ_(k = n+1)^(∞)((1)/(2))^k

Omega voleva che la scrivessi in questo modo per farti vedere che le code della serie devono necessariamente andare a 0, altrimenti la serie ottenuta come somma si sn ed rn ,come potrebbe convergere?

 

Per la monotonia puoi considerare il rapporto tra il termine (k+1)-esimo e il termine k-esimo della serie. Se questo è minore di 1, allora il termine k-esimo è più grande del termine (k+1)-esimo, quindi i termini della serie decrescono monotonamente:

 

((1)/(2^(k+1)))/((1)/(2^k)) = (1)/(2)

dunque i termini della serie decrescono al crescere di k. Cioè la successione

(1)/(2^k)

è monotona decrescente!

Ora hai una serie che ha solo termini positivi, il cui argomento è una successione monotona decrescente, inoltre il limite per k che tende a più infinto dell'argomento è 0. Come potrebbe divergere una serie di questo tipo?

Risposta di Alpha

Ok Alpha. Per il momento è chiaro :) ma credo di rifarmi vivo presto Tongue ti ringrazio :)

Risposta di xavier310

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