Chiarimenti sul polinomio di Taylor

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Sul mio libro c'è questa spiegazione inerente il polinomio di Taylor: il polinomio T_n(x;x_0) si chiama polinomio di Taylor di grado n della funzione f nel punto x0 e rappresenta un'approssimazione di f vicino a x0.


La peculiarità della formula di Taylor sta nel fatto che il resto R_n, definito come R_n(x;x_0):=f(x) - T_n(x;x_0) è un infinitesimo di ordine superiore ad \left|x-x_0\right|^n per x che tende a x0.


1) Non riesco a capire la scrittura R_n(x;x_0)


2) Perchè viene messo := ?


3) Cosa vuol dire è un infinitesimo di ordine superiore ad \left|x-x_0 \right|^n per x che tende a x0?

Domanda di giacomo22

 
Soluzioni

  • Ciao Giavomo, arrivo subito a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Andiamo con ordine:

    1) La scrittura R_n(x;x_0) è semplicemente una notazione per indicare il resto dello sviluppo di Taylor centrato in x_0 arrestato all'ordine n-esimo rispetto alla funzione f(x), nel punto x dell'intorno del centro x_0

    2) :=, cioè i due punti che precedono un'uguaglianza, è semplicemente una notazione per indicare che l'uguaglianza è una definizione.

    3) Cortesemente, leggi questo: ordini di infinitesimo!

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Ma perché prende come riferimento |x-x_0|^n? Che cos'è |x-x_0|^n?

    Cioè graficamente cosa succede?

    Ad esempio se mi si chiede: data f(x)=\sin(x)+\cos(x), calcolare f\left(\frac{1}{2}\right) con un errore minore di 10^{-3}

    Come potrei risolvere l'esercizio? A cosa corrisponde quel 10^{-3}?

    Risposta di giacomo22

  • Perché x-x_0 è proprio il termine che genera le potenze nel polinomio. Lo sviluppo di Taylor è un polinomio. 

    Ragiona così: quando arresti lo sviluppo ad un certo ordine, hai delle potenze di x che restano "tagliate fuori" rispetto allo sviluppo completo. Il resto ha proprio lo scopo di racchiudere in se questi ulteriori termini.

    Quindi se ti si chiede: "calcola f(1/2) con un errore minore di 10-3" non devi fare altro che osservare che il ressto della serie deve essere minore di quello scarto. In altre parole:

    Se sviluppi la funzione nell'intorno del punto

    x_0=0

    arrestandoti ad un generico ordine n, avrai un resto

    R_n(\frac{1}{2};0).

    Devi semplicemente richiedere che il resto sia tale che

    R_{n}(\frac{1}{2};0)<10^{-3}

    A questo punto trovi, grazie alla disequazione, il minimo ordine n che determina un errore inferiore allo scarto richiesto, scrivi lo sviluppo di Taylor con centro x=0 arrestato a quell'ordine precedentemente determinato e lo valuti in 

    x=\frac{1}{2}

    questo valore sarà un'approssimazione della funzione considerata nel punto a meno di un errore non superiore a 10^-3.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega

  • Ma il resto R_n\left(frac{1}{2};0\right) come lo calcolo? Con la formula del resto di Lagrange?

    Risposta di giacomo22

  • Per trovare approssimazioni della valutazione di una funzione con lo sviluppo di Taylor è sempre bene utilizzare il resto di Lagrange, infatti tale resto fornisce, al contrario del resto di Peano, una stima dell'errore.

    \vert error_{n+1}\vert=\vert f^{(n+1)}(\xi)\vert\frac{\vert x-c \vert^{n+1}}{(n+1)!}

     

    Se vuoi che l'errore sia minore di un certo valore, chiamiamolo err, dovrai arrestare il tuo sviluppo all'ordine n tale che 

     

    M\frac{\vert x-c \vert^{n+1}}{(n+1)!}\leq err

     

    Dove M è il massimo della derivata (n+1)-esima, x è il punto in cui vuoi approssimare la funzione e c è il centro. Come vedi quella scritta sopra è semplicemente una maggiorazione del resto di Lagrange. 

     

    Dunque dovrai cercare n tale che 

     

    2\frac{2^{-n}}{(n+1)!}\leq 10^{-3}

     

    non resta che fare i conti...

    Risposta di Alpha

  • Perchè M=2 ?

    E come ricavo il fatto che x0=0? La traccia non mi da questo dato!

     

    Risposta di giacomo22

  • Il centro è arbitrario, M=2 perché è sicuramente più grande del massimo delle derivate della tua funzione che sono cicliche in seno e coseno,  ti ricordo che seno e coseno non possono assumere valore maggiore di 1.

    Risposta di Alpha

  • Perchè il centro è arbitrario?

    Per quanto riguarda M in questo caso ci si puòarrivare in maniera intuitiva. Ma come faccio a trovarlo in generale?

     

    Risposta di giacomo22

  • Il centro è arbitrario purché:

    1) sia comodo per fare i calcoli;

    2) valgano le ipotesi della formula di Taylor nel suo intorno.

    Come valore di maggiorazione M, ti basta invece prendere il massimo della derivata di ordine (n+1)-esimosull'intervallo [centro,punto-in-cui-valuti-l'errore].

    Parti dal primo ordine, e provi gli ordini ad uno ad uno finché non trovi l'ordine di arresto che garantisce l'errore desiderato.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • E se il massimo M non esiste?

     

    Risposta di giacomo22

  • Un'altra domanda: una funzione qualsiasi non ha un'approssimazione diversa in ogni punto della funzione? quindi il centro come fa ad essere arbitrario?

    Risposta di giacomo22

  • Scegli un altro centro dello sviluppo in modo che esista.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Un'altra cosa (perdona la mia insistenza Tongue): perchè è 2-n? Non c'era ad esponente un n+1?

    Risposta di giacomo22

  • "Un'altra domanda: una funzione qualsiasi non ha un'approssimazione diversa in ogni punto della funzione? quindi il centro come fa ad essere arbitrario?"

    Ma infatti non ti viene richiesta una'approssimazione particolare. Le approssimazioni non sono, per definizione, né esatte né uniche.

    "Un'altra cosa (perdona la mia insistenza Tongue): perchè è 2-n? Non c'era ad esponente un n+1?"

    Non confonderti: un conto è il singolo 2 che maggiora qualsiasi derivata, un altro conto è

    \left|\frac{1}{2}\right|^{n+1}=2^{-n-1}

    Dove il 2-1 lo possiamo lasciare perdere. Oppure puoi semplificarlo poi con l'altro 2.

    Namasté!

    Risposta di Omega

  • Scusami. Non avevo visto la tua risposta Tongue

    Ultimissima cosa: al posto di 2 posso prendere anche 3 o 4 ?

    Risposta di giacomo22

  • Si, ma è sempre consigliato prendere il massimo "più stretto" possibile.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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