Chiarimenti sul polinomio di Taylor
Sul mio libro c'è questa spiegazione inerente il polinomio di Taylor: il polinomio 
si chiama polinomio di Taylor di grado n della funzione f nel punto x0 e rappresenta un'approssimazione di f vicino a x0.
La peculiarità della formula di Taylor sta nel fatto che il resto 
, definito come 
è un infinitesimo di ordine superiore ad 
per x che tende a x0.
1) Non riesco a capire la scrittura 
2) Perchè viene messo := ?
3) Cosa vuol dire è un infinitesimo di ordine superiore ad per x che tende a x0?
Ciao Giavomo, arrivo subito a risponderti...
Risposta di Omega
Andiamo con ordine:
1) La scrittura è semplicemente una notazione per indicare il resto dello sviluppo di Taylor centrato in 
arrestato all'ordine n-esimo rispetto alla funzione 
, nel punto 
dell'intorno del centro
2) 
, cioè i due punti che precedono un'uguaglianza, è semplicemente una notazione per indicare che l'uguaglianza è una definizione.
3) Cortesemente, leggi questo: ordini di infinitesimo!
Namasté!
Risposta di Omega
Ma perché prende come riferimento 
? Che cos'è ?
Cioè graficamente cosa succede?
Ad esempio se mi si chiede: data 
, calcolare 
con un errore minore di 
Come potrei risolvere l'esercizio? A cosa corrisponde quel ?
Risposta di giacomo22
Perché 
è proprio il termine che genera le potenze nel polinomio. Lo sviluppo di Taylor è un polinomio.
Ragiona così: quando arresti lo sviluppo ad un certo ordine, hai delle potenze di x che restano "tagliate fuori" rispetto allo sviluppo completo. Il resto ha proprio lo scopo di racchiudere in se questi ulteriori termini.
Quindi se ti si chiede: "calcola f(1/2) con un errore minore di 10-3" non devi fare altro che osservare che il ressto della serie deve essere minore di quello scarto. In altre parole:
Se sviluppi la funzione nell'intorno del punto
arrestandoti ad un generico ordine 
, avrai un resto
.
Devi semplicemente richiedere che il resto sia tale che
A questo punto trovi, grazie alla disequazione, il minimo ordine che determina un errore inferiore allo scarto richiesto, scrivi lo sviluppo di Taylor con centro x=0 arrestato a quell'ordine precedentemente determinato e lo valuti in
questo valore sarà un'approssimazione della funzione considerata nel punto a meno di un errore non superiore a 
.
Namasté!
Risposta di Omega
Ma il resto 
come lo calcolo? Con la formula del resto di Lagrange?
Risposta di giacomo22
Per trovare approssimazioni della valutazione di una funzione con lo sviluppo di Taylor è sempre bene utilizzare il resto di Lagrange, infatti tale resto fornisce, al contrario del resto di Peano, una stima dell'errore.
Se vuoi che l'errore sia minore di un certo valore, chiamiamolo err, dovrai arrestare il tuo sviluppo all'ordine n tale che
Dove M è il massimo della derivata (n+1)-esima, x è il punto in cui vuoi approssimare la funzione e c è il centro. Come vedi quella scritta sopra è semplicemente una maggiorazione del resto di Lagrange.
Dunque dovrai cercare n tale che
non resta che fare i conti...
Risposta di Alpha
Perchè M=2 ?
E come ricavo il fatto che x0=0? La traccia non mi da questo dato!
Risposta di giacomo22
Il centro è arbitrario, M=2 perché è sicuramente più grande del massimo delle derivate della tua funzione che sono cicliche in seno e coseno, ti ricordo che seno e coseno non possono assumere valore maggiore di 1.
Risposta di Alpha
Perchè il centro è arbitrario?
Per quanto riguarda M in questo caso ci si puòarrivare in maniera intuitiva. Ma come faccio a trovarlo in generale?
Risposta di giacomo22
Il centro è arbitrario purché:
1) sia comodo per fare i calcoli;
2) valgano le ipotesi della formula di Taylor nel suo intorno.
Come valore di maggiorazione M, ti basta invece prendere il massimo della derivata di ordine 
sull'intervallo ![[centro,punto-in-cui-valuti-l'errore]](/images/joomlatex/f/7/f776b747be9d81775aa9b9a4f4a66861.gif)
.
Parti dal primo ordine, e provi gli ordini ad uno ad uno finché non trovi l'ordine di arresto che garantisce l'errore desiderato.
Namasté!
Risposta di Omega
E se il massimo M non esiste?
Risposta di giacomo22
Un'altra domanda: una funzione qualsiasi non ha un'approssimazione diversa in ogni punto della funzione? quindi il centro come fa ad essere arbitrario?
Risposta di giacomo22
Scegli un altro centro dello sviluppo in modo che esista.
Namasté!
Risposta di Omega
Un'altra cosa (perdona la mia insistenza 
): perchè è 2-n? Non c'era ad esponente un n+1?
Risposta di giacomo22
"Un'altra domanda: una funzione qualsiasi non ha un'approssimazione diversa in ogni punto della funzione? quindi il centro come fa ad essere arbitrario?"
Ma infatti non ti viene richiesta una'approssimazione particolare. Le approssimazioni non sono, per definizione, né esatte né uniche.
"Un'altra cosa (perdona la mia insistenza ): perchè è 2-n? Non c'era ad esponente un n+1?"
Non confonderti: un conto è il singolo 2 che maggiora qualsiasi derivata, un altro conto è
Dove il 2-1 lo possiamo lasciare perdere. Oppure puoi semplificarlo poi con l'altro 2.
Namasté!
Risposta di Omega
Scusami. Non avevo visto la tua risposta
Ultimissima cosa: al posto di 2 posso prendere anche 3 o 4 ?
Risposta di giacomo22
Si, ma è sempre consigliato prendere il massimo "più stretto" possibile.
Namasté!
Risposta di Omega