Ciao Giavomo, arrivo subito a risponderti...
Andiamo con ordine:
1) La scrittura
è semplicemente una notazione per indicare il resto dello sviluppo di Taylor centrato in
arrestato all'ordine n-esimo rispetto alla funzione
, nel punto
dell'intorno del centro
2)
, cioè i due punti che precedono un'uguaglianza, è semplicemente una notazione per indicare che l'uguaglianza è una definizione.
3) Cortesemente, leggi questo: ordini di infinitesimo!
Namasté!
Ma perché prende come riferimento
? Che cos'è
?
Cioè graficamente cosa succede?
Ad esempio se mi si chiede: data
, calcolare
con un errore minore di
Come potrei risolvere l'esercizio? A cosa corrisponde quel
?
Perché
è proprio il termine che genera le potenze nel polinomio. Lo sviluppo di Taylor è un polinomio.
Ragiona così: quando arresti lo sviluppo ad un certo ordine, hai delle potenze di x che restano "tagliate fuori" rispetto allo sviluppo completo. Il resto ha proprio lo scopo di racchiudere in se questi ulteriori termini.
Quindi se ti si chiede: "calcola f(1/2) con un errore minore di 10-3" non devi fare altro che osservare che il ressto della serie deve essere minore di quello scarto. In altre parole:
Se sviluppi la funzione nell'intorno del punto
arrestandoti ad un generico ordine
, avrai un resto
.
Devi semplicemente richiedere che il resto sia tale che
A questo punto trovi, grazie alla disequazione, il minimo ordine
che determina un errore inferiore allo scarto richiesto, scrivi lo sviluppo di Taylor con centro x=0 arrestato a quell'ordine precedentemente determinato e lo valuti in
questo valore sarà un'approssimazione della funzione considerata nel punto a meno di un errore non superiore a
.
Namasté!
Ma il resto
come lo calcolo? Con la formula del resto di Lagrange?
Per trovare approssimazioni della valutazione di una funzione con lo sviluppo di Taylor è sempre bene utilizzare il resto di Lagrange, infatti tale resto fornisce, al contrario del resto di Peano, una stima dell'errore.
Se vuoi che l'errore sia minore di un certo valore, chiamiamolo err, dovrai arrestare il tuo sviluppo all'ordine n tale che
Dove M è il massimo della derivata (n+1)-esima, x è il punto in cui vuoi approssimare la funzione e c è il centro. Come vedi quella scritta sopra è semplicemente una maggiorazione del resto di Lagrange.
Dunque dovrai cercare n tale che
non resta che fare i conti...
Perchè M=2 ?
E come ricavo il fatto che x0=0? La traccia non mi da questo dato!
Il centro è arbitrario, M=2 perché è sicuramente più grande del massimo delle derivate della tua funzione che sono cicliche in seno e coseno, ti ricordo che seno e coseno non possono assumere valore maggiore di 1.
Perchè il centro è arbitrario?
Per quanto riguarda M in questo caso ci si puòarrivare in maniera intuitiva. Ma come faccio a trovarlo in generale?
Il centro è arbitrario purché:
1) sia comodo per fare i calcoli;
2) valgano le ipotesi della formula di Taylor nel suo intorno.
Come valore di maggiorazione M, ti basta invece prendere il massimo della derivata di ordine
sull'intervallo
.
Parti dal primo ordine, e provi gli ordini ad uno ad uno finché non trovi l'ordine di arresto che garantisce l'errore desiderato.
Namasté!
E se il massimo M non esiste?
Un'altra domanda: una funzione qualsiasi non ha un'approssimazione diversa in ogni punto della funzione? quindi il centro come fa ad essere arbitrario?
Scegli un altro centro dello sviluppo in modo che esista.
Namasté!
Un'altra cosa (perdona la mia insistenza
): perchè è 2-n? Non c'era ad esponente un n+1?
"Un'altra domanda: una funzione qualsiasi non ha un'approssimazione diversa in ogni punto della funzione? quindi il centro come fa ad essere arbitrario?"
Ma infatti non ti viene richiesta una'approssimazione particolare. Le approssimazioni non sono, per definizione, né esatte né uniche.
"Un'altra cosa (perdona la mia insistenza
): perchè è 2-n? Non c'era ad esponente un n+1?"
Non confonderti: un conto è il singolo 2 che maggiora qualsiasi derivata, un altro conto è
Dove il 2-1 lo possiamo lasciare perdere. Oppure puoi semplificarlo poi con l'altro 2.
Namasté!
Scusami. Non avevo visto la tua risposta
Ultimissima cosa: al posto di 2 posso prendere anche 3 o 4 ?
Si, ma è sempre consigliato prendere il massimo "più stretto" possibile.
Namasté!
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