Soluzioni
  • Ciao Giacomo22, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per determinare il polinomio di Taylor centrato in x_0, usiamo la formula

    T_3(x)=\sum_{k=0}^{3}{\frac{f^{(k)}(x_0)}{k!}(x-x_0)^k}

    dobbiamo calcolarci le derivate della funzione f(x)=\sqrt{1+x}:

    f^{(1)}(x)=\frac{1}{2\sqrt{1+x}}

    f^{2}(x)=-\frac{1}{4\sqrt{(1+x)^3}}

    f^{(3)}(x)=+\frac{3}{8\sqrt{(1+x)^5}}

    Dato che il punto x_{0} è generico, non dobbiamo fare altro che sostituire le precedenti espressioni delle derivate prime con x_0 al posto di x.

    Troviamo

    T_{3}(x_0)=\sqrt{(1+x_0)}+\frac{1}{2\sqrt{1+x_0}}(x-x_0)-\frac{1}{8\sqrt{(1+x_0)^3}}(x-x_0)^2+\frac{3}{48\sqrt{(1+x_0)^5}}(x-x_0)^3

    Fine. L'esercizio ti richiede di esprimere anche il resto della serie?

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • No, ma mi faresti un grosso piacere se mi spiegassi come si fa =)

    Risposta di giacomo22
  • A trovare il resto? Di resti ce ne sono diversi tipi...hai già studiato la teoria?

    Risposta di Omega
  • Sul mio libro c'è il resto di Lagrange, ma è spiegato in modo molto complicato. Comnque prima di proseguire, potresti perfavore scrivermi i passaggi algebrici che hai fatto per trovare la derivata terza?

    Risposta di giacomo22
  • Per trovare la derivata terza, devi serivare la derivata seconda, che è

    f^{(2)}(x)=-\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}

    per derivarla usi la regola di derivazione della potenza di una funzione

    f^{(3)}(x)=-\frac{1}{4}\left(-\frac{3}{2}\right)(1+x)^{-\frac{3}{2}-1}

    e ci sei. Attenzione al fatto che nel polinomio di Taylor, ad ogni denominatore, sono inclusi i termini fattoriali.

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ok fin qui chiaro =)=) e ora come poter trovare il resto di Lagrange?

     

    Risposta di giacomo22
  • Per quanto riguaarda il resto di Lagrange, si dimostra che se la funzione è derivabile (n+1) volte nell'intorno del punto x_0, è dato da

    R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{n+1}

    dove \csi è un punto compreso tra x_0 e x se lo sviluppo viene effettuato in un intorno destro di x_0.

    Non è possibile conoscere il valore del punto \xi, il resto di Lagrange non dà una stima quantitativa sul resto mentre fornisce una stima qualitativa sulla forma del resto dello sviluppo.

     

    Risposta di Omega
  • Grazie Omega. :)

    Risposta di giacomo22
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