Soluzioni
  • Ciao Kitty, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per calcolare l'integrale

    \int{\frac{1}{5x^2+x+1}dx}

    completiamo il quadrato a denominatore

    5x^2+2x+\frac{1}{5}+\frac{4}{5}

    che quindi diventa

    5x^2+2x+\frac{1}{5}+\frac{4}{5}=(\sqrt{5}x+\frac{1}{\sqrt{5}})^2+\frac{4}{5}

    Ora poniamo

    y=\sqrt{5}x+\frac{1}{\sqrt{5}}

    da cui

    dy=dx

    e applichiamo il cambiamento di variabile nell'integrale

    \int{\frac{1}{y^2+\frac{4}{5}}dy}=\int{\frac{1}{\frac{4}{5}\left(1+\frac{y^2}{\frac{4}{5}}\right)}}=\frac{5}{4}\int{\frac{1}{1+\frac{y^2}{\frac{4}{5}}}}

    che ha come primitiva

    \frac{5}{4}\arctan{\left(\frac{y}{\frac{2}{\sqrt{5}}}\right)}=\frac{5}{4}\arctan{\left(\frac{\sqrt{5}y}{2}\right)}

    Non ti resta che sostituire l'espressione della y secondo la trasformazione effettuata.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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