Esercizio con funzioni composte e funzioni inverse

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Sono alle prese con un esercizio su funzioni composte e funzioni inverse che presenta più richieste. Purtroppo mi blocco già al primo punto e non riesco a proseguire.

 

Siano

 

f(x)=\frac{x-1}{x} \ \ \ ; \ \ \ g(x)=2x+3

 

- Determinare le funzioni inverse f^{-1}(x) e g^{-1}(x);

 

- determinare la funzione composta f \circ g;

 

- determinare l'inversa della funzione composta, ossia (f \circ g)^{-1};

 

- verificare, o confutare, che coincidono le composizioni (f \circ g)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1};

 

- risolvere, in seguito, la disequazione (f \circ g)^{-1}(x) \ge g(-f(x)).

Domanda di Miriam

 
Soluzioni

  • Consideriamo le funzioni

    f(x)=\frac{x-1}{x} \ \ \ ; \ \ \ g(x)=2x+3

    e determiniamo le loro funzioni inverse.

    Ricordiamo che una funzione è invertibile se e solo se è una funzione biettiva (può essere solo una funzione iniettiva, ma in questo caso dobbiamo restringere l'insieme di arrivo, o codominio, all'immagine della funzione, così da garantire la suriettività della funzione).

    Calcoliamo la funzione inversa di f(x) impostando l'equazione

    f(x)=y

    e risolvendola in favore di x. Nel nostro caso ricaviamo l'equazione fratta in x

    \frac{x-1}{x}=y \ \to \ x-1=xy

    Isoliamo i termini con l'incognita al primo membro

    x-xy=1

    e raccogliamo a fattor comune x

    x(1-y)=1

    Per y \neq 1 possiamo dividere i due membri per 1-y, ottenendo così

    x=\frac{1}{1-y} \ \ \mbox{ con } y \neq 1

    Non ci resta che scambiare il ruolo delle variabili e scrivere l'espressione analitica della funzione inversa

    f^{-1}(x)=\frac{1}{1-x} \ \ \mbox{ con } x \neq 1

    Passiamo poi al calcolo dell'inversa di g(x)=2x+3.

    Il grafico della funzione g(x) è una retta con coefficiente angolare m=2 e ordinata all'origine q=3. Graficamente è immediato verificare che è una funzione sia iniettiva che suriettiva, e in quanto tale invertibile.

    La sua inversa si ricava risolvendo l'equazione g(x)=y in favore di x e scambiando in seguito il ruolo delle variabili. In maniera esplicita

    g(x)=y \ \to \ 2x+3=y \ \to \ x=\frac{y}{2}-\frac{3}{2}

    per cui, scambiando il ruolo delle variabili ricaviamo

    g^{-1}(x)=\frac{x}{2}-\frac{3}{2}

    Dedichiamoci ora al calcolo dell'espressione della funzione composta f \circ g sostituendo g(x) a ogni occorrenza di x all'interno dell'espressione di f(x).

    \\ (f \circ g)(x)=f(g(x))=\frac{g(x)-1}{g(x)}= \\ \\ \\ = \frac{2x+3-1}{2x+3}=\frac{2x+2}{2x+3}

    Invertiamo la funzione composta, risolvendo l'equazione f(g(x))=y in favore di x, vale a dire

    \frac{2x+2}{2x+3}=y \ \to \ 2x+2=2xy+3y

    Isoliamo tutti i termini con la x a sinistra

    2x-2xy=3y-2

    e raccogliamo x

    x(2-2y)=3y-2

    Per y \neq 1 possiamo dividere i due membri per 2-2y

    x=\frac{3y-2}{2-2y}

    e, una volta scambiato il ruolo delle variabili, ricaviamo l'espressione dell'inversa

    (f \circ g)^{-1}(x)=\frac{3x-2}{2-2x}

    Calcoliamo ora la funzione f^{-1} \circ g^{-1} componendo l'inversa di f(x) con quella di g(x):

    \\ (f^{-1} \circ g^{-1})(x)=f^{-1}(g^{-1}(x))=\frac{1}{1-g^{-1}(x)}= \\ \\ \\ = \frac{1}{\dfrac{5}{2}-\dfrac{x}{2}}=\frac{2}{5-x}

    Osserviamo che (f \circ g)^{-1}(x) non coincide con la funzione trovata, ma è uguale a (g^{-1} \circ f^{-1})(x), infatti

    \\ (g^{-1} \circ f^{-1})(x) = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{1-x}\right)-\frac{3}{2}= \\ \\ \\ = \frac{2-3x}{2x-2} = \frac{-(3x-2)}{-(2-2x)} = \frac{3x-2}{2-2x}

    Per quanto concerne la disequazione

    (f \circ g)^{-1}(x) \ge g(-f(x))

    calcoliamo esplicitamente la funzione g(-f(x)). Essa si ricava rimpiazzando -f(x) a ogni occorrenza di x nella funzione g(x), vale a dire

    \\ g(-f(x))=2[-f(x)]+3= \\ \\ \\ = 2 \left(-\frac{x-1}{x}\right)+3=\frac{2+x}{x}

    La disequazione da risolvere diventa quindi

    \frac{3x-2}{2-2x} \ge \frac{2+x}{x}

    Portiamo tutto a primo membro e sommiamo le frazioni algebriche

    \frac{5x^2-4}{2x-2x^2} \ge 0

    Studiamo separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore

    \\ N \ge 0 \ \to \ 5x^2-4 \ge 0 \ \to \ x \le -\frac{2}{\sqrt{5}} \ \vee \ x>\frac{2}{\sqrt{5}} \\ \\ \\ D>0 \ \to \ 2x-2x^2>0 \ \to \ 0<x<1

    e, una volta costruita la tabella dei segni, concludiamo che la soluzione della disequazione è

    -\frac{2}{\sqrt{5}} \le x < 0 \ \vee \ \frac{2}{\sqrt{5}} \le x < 1

    Il problema è risolto.

    Risposta di Galois
 
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