Soluzioni
  • Consideriamo le funzioni

    f(x) = (x-1)/(x) ; g(x) = 2x+3

    e determiniamo le loro funzioni inverse.

    Ricordiamo che una funzione è invertibile se e solo se è una funzione biettiva (può essere solo una funzione iniettiva, ma in questo caso dobbiamo restringere l'insieme di arrivo, o codominio, all'immagine della funzione, così da garantire la suriettività della funzione).

    Calcoliamo la funzione inversa di f(x) impostando l'equazione

    f(x) = y

    e risolvendola in favore di x. Nel nostro caso ricaviamo l'equazione fratta in x

    (x-1)/(x) = y → x-1 = xy

    Isoliamo i termini con l'incognita al primo membro

    x-xy = 1

    e raccogliamo a fattor comune x

    x(1-y) = 1

    Per y ≠ 1 possiamo dividere i due membri per 1-y, ottenendo così

    x = (1)/(1-y) con y ≠ 1

    Non ci resta che scambiare il ruolo delle variabili e scrivere l'espressione analitica della funzione inversa

    f^(-1)(x) = (1)/(1-x) con x ≠ 1

    Passiamo poi al calcolo dell'inversa di g(x) = 2x+3.

    Il grafico della funzione g(x) è una retta con coefficiente angolare m = 2 e ordinata all'origine q = 3. Graficamente è immediato verificare che è una funzione sia iniettiva che suriettiva, e in quanto tale invertibile.

    La sua inversa si ricava risolvendo l'equazione g(x) = y in favore di x e scambiando in seguito il ruolo delle variabili. In maniera esplicita

    g(x) = y → 2x+3 = y → x = (y)/(2)-(3)/(2)

    per cui, scambiando il ruolo delle variabili ricaviamo

    g^(-1)(x) = (x)/(2)-(3)/(2)

    Dedichiamoci ora al calcolo dell'espressione della funzione composta f circ g sostituendo g(x) a ogni occorrenza di x all'interno dell'espressione di f(x).

     (f circ g)(x) = f(g(x)) = (g(x)-1)/(g(x)) = (2x+3-1)/(2x+3) = (2x+2)/(2x+3)

    Invertiamo la funzione composta, risolvendo l'equazione f(g(x)) = y in favore di x, vale a dire

    (2x+2)/(2x+3) = y → 2x+2 = 2xy+3y

    Isoliamo tutti i termini con la x a sinistra

    2x-2xy = 3y-2

    e raccogliamo x

    x(2-2y) = 3y-2

    Per y ≠ 1 possiamo dividere i due membri per 2-2y

    x = (3y-2)/(2-2y)

    e, una volta scambiato il ruolo delle variabili, ricaviamo l'espressione dell'inversa

    (f circ g)^(-1)(x) = (3x-2)/(2-2x)

    Calcoliamo ora la funzione f^(-1) circ g^(-1) componendo l'inversa di f(x) con quella di g(x):

     (f^(-1) circ g^(-1))(x) = f^(-1)(g^(-1)(x)) = (1)/(1-g^(-1)(x)) = (1)/((5)/(2)-(x)/(2)) = (2)/(5-x)

    Osserviamo che (f circ g)^(-1)(x) non coincide con la funzione trovata, ma è uguale a (g^(-1) circ f^(-1))(x), infatti

     (g^(-1) circ f^(-1))(x) = (1)/(2) ((1)/(1-x))-(3)/(2) = (2-3x)/(2x-2) = (-(3x-2))/(-(2-2x)) = (3x-2)/(2-2x)

    Per quanto concerne la disequazione

    (f circ g)^(-1)(x) ≥ g(-f(x))

    calcoliamo esplicitamente la funzione g(-f(x)). Essa si ricava rimpiazzando -f(x) a ogni occorrenza di x nella funzione g(x), vale a dire

     g(-f(x)) = 2[-f(x)]+3 = 2 (-(x-1)/(x))+3 = (2+x)/(x)

    La disequazione da risolvere diventa quindi

    (3x-2)/(2-2x) ≥ (2+x)/(x)

    Portiamo tutto a primo membro e sommiamo le frazioni algebriche

    (5x^2-4)/(2x-2x^2) ≥ 0

    Studiamo separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore

     N ≥ 0 → 5x^2-4 ≥ 0 → x ≤ -(2)/(√(5)) ∨ x > (2)/(√(5)) ; D > 0 → 2x-2x^2 > 0 → 0 < x < 1

    e, una volta costruita la tabella dei segni, concludiamo che la soluzione della disequazione è

    -(2)/(√(5)) ≤ x < 0 ∨ (2)/(√(5)) ≤ x < 1

    Il problema è risolto.

    Risposta di Galois
 
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