Esercizio con funzioni composte e funzioni inverse

Sono alle prese con un esercizio su funzioni composte e funzioni inverse che presenta più richieste. Purtroppo mi blocco già al primo punto e non riesco a proseguire.

Siano

- Determinare le funzioni inverse e ;

- determinare la funzione composta ;

- determinare l'inversa della funzione composta, ossia ;

- verificare, o confutare, che coincidono le composizioni ;

- risolvere, in seguito, la disequazione .

Domanda di Miriam

Soluzioni

Consideriamo le funzioni
e determiniamo le loro funzioni inverse.
Ricordiamo che una funzione è invertibile se e solo se è una funzione biettiva (può essere solo una funzione iniettiva, ma in questo caso dobbiamo restringere l'insieme di arrivo, o codominio, all'immagine della funzione, così da garantire la suriettività della funzione).
Calcoliamo la funzione inversa di impostando l'equazione
e risolvendola in favore di . Nel nostro caso ricaviamo l'equazione fratta in
Isoliamo i termini con l'incognita al primo membro
e raccogliamo a fattor comune
Per possiamo dividere i due membri per , ottenendo così
Non ci resta che scambiare il ruolo delle variabili e scrivere l'espressione analitica della funzione inversa
Passiamo poi al calcolo dell'inversa di .
Il grafico della funzione è una retta con coefficiente angolare e ordinata all'origine . Graficamente è immediato verificare che è una funzione sia iniettiva che suriettiva, e in quanto tale invertibile.
La sua inversa si ricava risolvendo l'equazione in favore di e scambiando in seguito il ruolo delle variabili. In maniera esplicita
per cui, scambiando il ruolo delle variabili ricaviamo
Dedichiamoci ora al calcolo dell'espressione della funzione composta sostituendo a ogni occorrenza di all'interno dell'espressione di .
Invertiamo la funzione composta, risolvendo l'equazione in favore di , vale a dire
Isoliamo tutti i termini con la a sinistra
e raccogliamo
Per possiamo dividere i due membri per
e, una volta scambiato il ruolo delle variabili, ricaviamo l'espressione dell'inversa
Calcoliamo ora la funzione componendo l'inversa di con quella di :
Osserviamo che non coincide con la funzione trovata, ma è uguale a , infatti
Per quanto concerne la disequazione
calcoliamo esplicitamente la funzione . Essa si ricava rimpiazzando a ogni occorrenza di nella funzione , vale a dire
La disequazione da risolvere diventa quindi
Portiamo tutto a primo membro e sommiamo le frazioni algebriche
Studiamo separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore
e, una volta costruita la tabella dei segni, concludiamo che la soluzione della disequazione è
Il problema è risolto.
Risposta di Galois