Esercizio con funzioni composte e funzioni inverse

Question

Sono alle prese con un esercizio su funzioni composte e funzioni inverse che presenta più richieste. Purtroppo mi blocco già al primo punto e non riesco a proseguire. Siano f(x) = (x−1)/(x) ; g(x) = 2x+3−Determinare le funzioni inverse f^(−1)(x) e g^(−1)(x);−determinare la funzione composta f circ g;−determinare l'inversa della funzione composta, ossia (f circ g)^(−1);−verificare, o confutare, che coincidono le composizioni (f circ g)^(−1) = f^(−1) circ g^(−1);−risolvere, in seguito, la disequazione (f circ g)^(−1)(x) ≥ g(−f(x)).

Giuseppe Carichino · Accepted Answer

Consideriamo le funzioni f(x) = (x−1)/(x) ; g(x) = 2x+3 e determiniamo le loro funzioni inverse. Ricordiamo che una funzione è invertibile se e solo se è una funzione biettiva (può essere solo una funzione iniettiva, ma in questo caso dobbiamo restringere l'insieme di arrivo, o codominio, all'immagine della funzione, così da garantire la suriettività della funzione). Calcoliamo la funzione inversa di f(x) impostando l'equazione f(x) = y e risolvendola in favore di x. Nel nostro caso ricaviamo l'equazione fratta in x (x−1)/(x) = y → x−1 = xy Isoliamo i termini con l'incognita al primo membro x−xy = 1 e raccogliamo a fattor comune x x(1−y) = 1 Per y ≠ 1 possiamo dividere i due membri per 1−y, ottenendo così x = (1)/(1−y) con y ≠ 1 Non ci resta che scambiare il ruolo delle variabili e scrivere l'espressione analitica della funzione inversa f^(−1)(x) = (1)/(1−x) con x ≠ 1 Passiamo poi al calcolo dell'inversa di g(x) = 2x+3. Il grafico della funzione g(x) è una retta con coefficiente angolare m = 2 e ordinata all'origine q = 3. Graficamente è immediato verificare che è una funzione sia iniettiva che suriettiva, e in quanto tale invertibile. La sua inversa si ricava risolvendo l'equazione g(x) = y in favore di x e scambiando in seguito il ruolo delle variabili. In maniera esplicita g(x) = y → 2x+3 = y → x = (y)/(2)−(3)/(2) per cui, scambiando il ruolo delle variabili ricaviamo g^(−1)(x) = (x)/(2)−(3)/(2) Dedichiamoci ora al calcolo dell'espressione della funzione composta f circ g sostituendo g(x) a ogni occorrenza di x all'interno dell'espressione di f(x). ; (f circ g)(x) = f(g(x)) = (g(x)−1)/(g(x)) = (2x+3−1)/(2x+3) = (2x+2)/(2x+3) Invertiamo la funzione composta, risolvendo l'equazione f(g(x)) = y in favore di x, vale a dire (2x+2)/(2x+3) = y → 2x+2 = 2xy+3y Isoliamo tutti i termini con la x a sinistra 2x−2xy = 3y−2 e raccogliamo x x(2−2y) = 3y−2 Per y ≠ 1 possiamo dividere i due membri per 2−2y x = (3y−2)/(2−2y) e, una volta scambiato il ruolo delle variabili, ricaviamo l'espressione dell'inversa (f circ g)^(−1)(x) = (3x−2)/(2−2x) Calcoliamo ora la funzione f^(−1) circ g^(−1) componendo l'inversa di f(x) con quella di g(x): ; (f^(−1) circ g^(−1))(x) = f^(−1)(g^(−1)(x)) = (1)/(1−g^(−1)(x)) = (1)/((5)/(2)−(x)/(2)) = (2)/(5−x) Osserviamo che (f circ g)^(−1)(x) non coincide con la funzione trovata, ma è uguale a (g^(−1) circ f^(−1))(x), infatti ; (g^(−1) circ f^(−1))(x) = (1)/(2) ((1)/(1−x))−(3)/(2) = (2−3x)/(2x−2) = (−(3x−2))/(−(2−2x)) = (3x−2)/(2−2x) Per quanto concerne la disequazione (f circ g)^(−1)(x) ≥ g(−f(x)) calcoliamo esplicitamente la funzione g(−f(x)). Essa si ricava rimpiazzando−f(x) a ogni occorrenza di x nella funzione g(x), vale a dire ; g(−f(x)) = 2[−f(x)]+3 = 2 (−(x−1)/(x))+3 = (2+x)/(x) La disequazione da risolvere diventa quindi (3x−2)/(2−2x) ≥ (2+x)/(x) Portiamo tutto a primo membro e sommiamo le frazioni algebriche (5x^2−4)/(2x−2x^2) ≥ 0 Studiamo separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore ; N ≥ 0 → 5x^2−4 ≥ 0 → x ≤ −(2)/(√(5)) ∨ x > (2)/(√(5)) ; D > 0 → 2x−2x^2 > 0 → 0 < x < 1 e, una volta costruita la tabella dei segni, concludiamo che la soluzione della disequazione è−(2)/(√(5)) ≤ x < 0 ∨ (2)/(√(5)) ≤ x < 1 Il problema è risolto.