Consideriamo le funzioni
e determiniamo le loro funzioni inverse.
Ricordiamo che una funzione è invertibile se e solo se è una funzione biettiva (può essere solo una funzione iniettiva, ma in questo caso dobbiamo restringere l'insieme di arrivo, o codominio, all'immagine della funzione, così da garantire la suriettività della funzione).
Calcoliamo la funzione inversa di
impostando l'equazione
e risolvendola in favore di
. Nel nostro caso ricaviamo l'equazione fratta in
Isoliamo i termini con l'incognita al primo membro
Per
possiamo dividere i due membri per
, ottenendo così
Non ci resta che scambiare il ruolo delle variabili e scrivere l'espressione analitica della funzione inversa
Passiamo poi al calcolo dell'inversa di
.
Il grafico della funzione
è una retta con coefficiente angolare
e ordinata all'origine
. Graficamente è immediato verificare che è una funzione sia iniettiva che suriettiva, e in quanto tale invertibile.
La sua inversa si ricava risolvendo l'equazione
in favore di
e scambiando in seguito il ruolo delle variabili. In maniera esplicita
per cui, scambiando il ruolo delle variabili ricaviamo
Dedichiamoci ora al calcolo dell'espressione della funzione composta
sostituendo
a ogni occorrenza di
all'interno dell'espressione di
.
Invertiamo la funzione composta, risolvendo l'equazione
in favore di
, vale a dire
Isoliamo tutti i termini con la
a sinistra
e raccogliamo
Per
possiamo dividere i due membri per
e, una volta scambiato il ruolo delle variabili, ricaviamo l'espressione dell'inversa
Calcoliamo ora la funzione
componendo l'inversa di
con quella di
:
Osserviamo che
non coincide con la funzione trovata, ma è uguale a
, infatti
Per quanto concerne la disequazione
calcoliamo esplicitamente la funzione
. Essa si ricava rimpiazzando
a ogni occorrenza di
nella funzione
, vale a dire
La disequazione da risolvere diventa quindi
Portiamo tutto a primo membro e sommiamo le frazioni algebriche
Studiamo separatamente il segno del numeratore e quello del denominatore
e, una volta costruita la tabella dei segni, concludiamo che la soluzione della disequazione è
Il problema è risolto.
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