Soluzioni
  • Per risolvere la disequazione con i moduli

    |x-|x-2||<2

    è necessario rifarsi alla definizione di valore assoluto.

    In generale il valore assoluto coincide con il proprio argomento se questo è positivo o nullo, mentre è uguale all'opposto dell'argomento se questo è negativo

    |A(x)|=\begin{cases}A(x)&\mbox{se} \ A(x)\ge 0\\ -A(x)&\mbox{se} \ A(x)<0\end{cases}

    In base a questa definizione, il termine |x-2| si esplicita come segue:

    |x-2|=\begin{cases}x-2&\mbox{se}\ x-2\ge 0\\ -x+2&\mbox{se} \ x-2<0\end{cases}

    Ciò garantisce che la disequazione è equivalente all'unione di due sistemi di disequazioni che indichiamo con \mathrm{S}_1\ \mbox{e} \ \mathrm{S}_2:

    - nel primo sistema lavoriamo con la condizione x-2\ge 0, sotto la quale |x-2|=x-2 e la disequazione

    |x-|x-2||<2

    diviene

    \\ |x-(x-2)|<2\\ \\ |x-x+2|<2 \\ \\ 2<2

    Il primo sistema è quindi

    \mathrm{S}_1=\begin{cases}x-2\ge 0 \\ 2<2\end{cases}

    Esso non ammette soluzioni perché la seconda disequazione è impossibile: l'insieme soluzione di \mathrm{S}_1 è uguale all'insieme vuoto

    \mathrm{S}_1=\emptyset

    - Nel secondo sistema lavoriamo con la condizione x-2<0, sotto la quale |x-2|=-x+2.

    In questo caso la disequazione

    |x-|x-2||<2

    diventa

    |x-(-x+2)|<2 \\ \\ |x+x-2|<2 \\ \\ |2x-2|<2

    Il secondo sistema è quindi

    \mathrm{S}_2=\begin{cases}x-2<0\\ |2x-2|<2\end{cases}

    Osserviamo che la prima è una semplice disequazione di primo grado, che si risolve isolando x al primo membro

    \begin{cases}x<2\\ |2x-2|<2\end{cases}

    Occupiamoci della seconda disequazione. Essa si presenta nella forma |A(x)|<k con k numero reale positivo ed è equivalente al sistema

    \begin{cases}A(x)>-k\\ A(x)<k\end{cases}

    pertanto il sistema

    \begin{cases}x<2\\ |2x-2|<2\end{cases}

    si riscrive equivalentemente come segue:

    \begin{cases}x<2\\ 2x-2>-2\\ 2x-2<2\end{cases}

    A questo punto risolviamo singolarmente le tre disequazioni

    \bullet \ \ \ x<2 è a posto;

    \\ \bullet \ \ \ 2x-2>-2 \ \ \to \ \ 2x>0\ \ \to \ \ x>0 \\ \\ \bullet \ \ \ 2x-2<2 \ \ \to \ \ 2x<4 \ \ \to \ \ x<2

    Riportiamo le soluzioni al posto delle disequazioni

    \begin{cases}x<2\\ x>0\\ x<2\end{cases}

    e consideriamone l'intersezione, scoprendo così che l'insieme soluzione del secondo sistema è l'intervallo

    \mathrm{S}_2 =\{x\in\mathbb{R} \ :\  0<x<2\}

    o equivalentemente

    \mathrm{S}_2=(0,2)

    Attenzione, non abbiamo ancora finito! L'insieme delle soluzioni della disequazione

    |x-|x-2||<2

    coincide con l'unione degli insiemi delle soluzioni dei sistemi

    \\ \mathrm{S}=\mathrm{S}_1\cup\mathrm{S}_2=\\ \\ =\emptyset\cup (0,2)

    Poiché l'unione tra un insieme e l'insieme vuoto coincide con l'insieme stesso, concludiamo che la disequazione è soddisfatta in

    \mathrm{S}=(0,2)=\{x\in\mathbb{R} \ :\ 0<x<2\}

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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