limite di un integrale

devo calcolare il lim x->+infinito dell'integrale fra x e x+5 di (cost+2t)/(t-4)dt.

ho provato a usare la formula di integrazione per parti ma nn ho concluso nulla. dovrebbe tornare 10!

Domanda di Lely91
Soluzioni

Ciao Lely91, arrivo a risponderti...

Risposta di Omega

Per calcolare l'integrale puoi usare qualche trucchetto algebrico. Prendiamo l'integranda, e riscriviamola nella forma

(c+2t)/(t−4) = (c)/(t−4)+2(t)/(t−4)

e ancora

= (c)/(t−4)+2(t−4+4)/(t−4) = (c)/(t−4)+2[(t−4)/(t−4)+4(1)/(t−4)]

Se ora passi all'integrale, vedrai facilmente (l'integrale di una somma è la somma degli integrali e l'integrale di una costante per una funzione è la costante per l'integrale della funzione: in una parola, l'integrale è lineare) che

∫_(x)^(5x)(c+2t)/(t−4) = [clog(|t−4|)+2t+8log(|t−4|)]_(x)^(5x)

[(c+8)log(|t−4|)+2t]_(x)^(5x) = (c+8)log(|5x−4|)+2(5x)−(c+8)log(|x−4|)−2x =

= (c+8)[log(|5x−4|)−log(|5x|)]+8x = (c+8)log(((|5x−4|)/(|5x|)))+8x

e quindi passando al limite, si trova come risultato +∞

Namasté

Risposta di Omega

l'estremo di integrazione superiore è x+5. il procedimento non cambia mica vero?

Risposta di Lely91

e inoltre ho cos t

Risposta di Lely91

Cambia eccome, non sull'estremo di integrazione bensì per il fatto che non si può calcolare l'integrale analiticamente. In genere "cost" indica una costante e non il coseno, che invece si indica con

cos(t)

Vediamo di risolvere...

Risposta di Omega

si ho sbagliato io a scrivere: infatti sarebbe cos(t).

e proprio nn mi riesce risolverlo!

Risposta di Lely91

Ok, procedo...

Risposta di Omega

Si può procedere così: spezzando l'integranda nella somma

(cos(t)+2t)/(t−4) = (cos(t))/(t−4)+(2t)/(t−4)

si pasa alla somma degli integrali. Il limite del primo integrale vale zero, perché nell'integranda il numeratore è limitato mentre il denominatore tende ad infinito (essendo l'integranda integrata su un intervallo i cui estremi tendono ad infinito).

Per quanto riguarda il secondo integrale, possiamo integrare direttamente e trovare:

∫_(x)^(x+5)(2t)/(t−4) = [2t+8log(|t−4|)]_(x)^(x+5) =

(Ho svolto l'integrazione come nella precedente riposta)

(2x+10)+8log(|x+1|)−2x−log(|x−4|) = 10+log((|x+1|)/(|x−4|))

che ha limite 10 per x tendente a + infinito.

Namasté!

Risposta di Omega

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