limite di un integrale

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devo calcolare il lim x->+infinito dell'integrale fra x e x+5 di (cost+2t)/(t-4)dt.

ho provato a usare la formula di integrazione per parti ma nn ho concluso nulla. dovrebbe tornare 10!

Domanda di Lely91

 
Soluzioni

  • Ciao Lely91, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per calcolare l'integrale puoi usare qualche trucchetto algebrico. Prendiamo l'integranda, e riscriviamola nella forma

    \frac{c+2t}{t-4}=\frac{c}{t-4}+2\frac{t}{t-4}

    e ancora

    =\frac{c}{t-4}+2\frac{t-4+4}{t-4}=\frac{c}{t-4}+2\left[\frac{t-4}{t-4}+4\frac{1}{t-4}\right]

    Se ora passi all'integrale, vedrai facilmente (l'integrale di una somma è la somma degli integrali e l'integrale di una costante per una funzione è la costante per l'integrale della funzione: in una parola, l'integrale è lineare) che

    \int_{x}^{5x}{\frac{c+2t}{t-4}}=\left[c\log{|t-4|}+2t+8\log{|t-4|}\right]_{x}^{5x}

    \left[(c+8)\log{|t-4|}+2t\right]_{x}^{5x}=(c+8)\log{|5x-4|}+2(5x)-(c+8)\log{|x-4|}-2x=

    =(c+8)\left[\log{|5x-4|}-\log{|5x|}\right]+8x=(c+8)\log{\left(\frac{|5x-4|}{|5x|}\right)}+8x

    e quindi passando al limite, si trova come risultato +\infty

    Namasté

    Risposta di Omega

  • l'estremo di integrazione superiore è x+5. il procedimento non cambia mica vero?

    Risposta di Lely91

  • e inoltre ho cos t

    Risposta di Lely91

  • Cambia eccome, non sull'estremo di integrazione bensì per il fatto che non si può calcolare l'integrale analiticamente. In genere "cost" indica una costante e non il coseno, che invece si indica con

    cos(t)

    Vediamo di risolvere...

    Risposta di Omega

  • si ho sbagliato io a scrivere: infatti sarebbe cos(t).

    e proprio nn mi riesce risolverlo!

    Risposta di Lely91

  • Ok, procedo...

    Risposta di Omega

  • Si può procedere così: spezzando l'integranda nella somma

    \frac{\cos{(t)}+2t}{t-4}}=\frac{\cos{(t)}}{t-4}+\frac{2t}{t-4}

    si pasa alla somma degli integrali. Il limite del primo integrale vale zero, perché nell'integranda il numeratore è limitato mentre il denominatore tende ad infinito (essendo l'integranda integrata su un intervallo i cui estremi tendono ad infinito).

    Per quanto riguarda il secondo integrale, possiamo integrare direttamente e trovare:

    \int_{x}^{x+5}{\frac{2t}{t-4}}=[2t+8\log{|t-4|}]_{x}^{x+5}=

    (Ho svolto l'integrazione come nella precedente riposta)

    (2x+10)+8\log{|x+1|}-2x-\log{|x-4|}=10+\log{\frac{|x+1|}{|x-4|}}

    che ha limite 10 per x tendente a + infinito.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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