limite di un integrale

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devo calcolare il lim x->+infinito dell'integrale fra x e x+5 di (cost+2t)/(t-4)dt.

ho provato a usare la formula di integrazione per parti ma nn ho concluso nulla. dovrebbe tornare 10!

Domanda di Lely91

 
Soluzioni

  • Ciao Lely91, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per calcolare l'integrale puoi usare qualche trucchetto algebrico. Prendiamo l'integranda, e riscriviamola nella forma

    (c+2t)/(t-4) = (c)/(t-4)+2(t)/(t-4)

    e ancora

    = (c)/(t-4)+2(t-4+4)/(t-4) = (c)/(t-4)+2[(t-4)/(t-4)+4(1)/(t-4)]

    Se ora passi all'integrale, vedrai facilmente (l'integrale di una somma è la somma degli integrali e l'integrale di una costante per una funzione è la costante per l'integrale della funzione: in una parola, l'integrale è lineare) che

    ∫_(x)^(5x)(c+2t)/(t-4) = [clog(|t-4|)+2t+8log(|t-4|)]_(x)^(5x)

    [(c+8)log(|t-4|)+2t]_(x)^(5x) = (c+8)log(|5x-4|)+2(5x)-(c+8)log(|x-4|)-2x =

    = (c+8)[log(|5x-4|)-log(|5x|)]+8x = (c+8)log(((|5x-4|)/(|5x|)))+8x

    e quindi passando al limite, si trova come risultato +∞

    Namasté

    Risposta di Omega

  • l'estremo di integrazione superiore è x+5. il procedimento non cambia mica vero?

    Risposta di Lely91

  • e inoltre ho cos t

    Risposta di Lely91

  • Cambia eccome, non sull'estremo di integrazione bensì per il fatto che non si può calcolare l'integrale analiticamente. In genere "cost" indica una costante e non il coseno, che invece si indica con

    cos(t)

    Vediamo di risolvere...

    Risposta di Omega

  • si ho sbagliato io a scrivere: infatti sarebbe cos(t).

    e proprio nn mi riesce risolverlo!

    Risposta di Lely91

  • Ok, procedo...

    Risposta di Omega

  • Si può procedere così: spezzando l'integranda nella somma

    (cos(t)+2t)/(t-4) = (cos(t))/(t-4)+(2t)/(t-4)

    si pasa alla somma degli integrali. Il limite del primo integrale vale zero, perché nell'integranda il numeratore è limitato mentre il denominatore tende ad infinito (essendo l'integranda integrata su un intervallo i cui estremi tendono ad infinito).

    Per quanto riguarda il secondo integrale, possiamo integrare direttamente e trovare:

    ∫_(x)^(x+5)(2t)/(t-4) = [2t+8log(|t-4|)]_(x)^(x+5) =

    (Ho svolto l'integrazione come nella precedente riposta)

    (2x+10)+8log(|x+1|)-2x-log(|x-4|) = 10+log((|x+1|)/(|x-4|))

    che ha limite 10 per x tendente a + infinito.

    Namasté!

    Risposta di Omega
 
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