Errore approssimando una funzione con la retta tangente
Potete spiegarmi questa parte di testo riguardante l'approssimazione di una funzione mediante la retta tangente al grafico in un punto, presa dal mio libro nel capitolo delle derivate?
Data l'equazione della retta tangente al grafico di una determinata funzione:
in x0, fissato x0 il polinomio di primo grado in x a secondo membro può essere visto come aprossimazione della funzione f vicino al punto x0 Nel sostituire la funzione con la sua retta tangente l'errore Rx0 è pari a:...
Non ci ho capito nulla: cosa vuol dire che: il polinomio di primo grado in x a secondo membro può essere visto come aprossimazione della funzione f vicino al punto x0?
E di quale errore parla?
Ciao Giacomo22, arrivo a risponderti...
L'approssimazione ed l'errore (il "resto") di cui si parla sono l'approssimazione ed il resto della formula di Taylor nel punto
arrestato al primo ordine.Lo sviluppo di Taylor, come ben sai, fornisce un polinomio che coincide con la funzione nell'intorno del punto in cui effettui lo sviluppo. Non volendo proseguire all'infinito nello sviluppo di Taylor (
) si può arrestare lo sviluppo ad un certo ordine, diciamo 
.Il polinomio di Taylor che arriva fino all'ordine
non coincide con la funzione nell'intorno del punto, perché mancano tutti i termini di ordine superiore ad nello sviluppo. Possiamo però esprimere questi termini mancanti in forma di resto (o errore).A proposito: potrebbe interessarti la lezione sulla retta tangente al grafico di una funzione in un punto.
Namasté!
Ma nello sviluppo di Taylor se si procede all'infinito si arriva a far coincidere il polinomio con la funzione? E ancora graficamente non ho capito a cosa corrisponde graficamente questo errore. (io ancora non ho studiato la formula di Taylor)
"Ma nello sviluppo di Taylor se si procede all'infinito si arriva a far coincidere il polinomio con la funzione?"
Se valgono le ipotesi che permettono di effettuare lo sviluppo in serie di Taylor, certo che sì.
"E ancora graficamente non ho capito a cosa corrisponde graficamente questo errore. (io ancora non ho studiato la formula di Taylor)"
Equivale alla differenza tra l'ordinata della funzione e l'ordinata della serie arrestata all'ordine
(senza il resto - cioè il polinomio di ordine ) corrispondenti al punto x nell'intorno del centro x0. Un segmentino verticale, per intenderci.Namasté!
Si ma non ho ben chiaro cosa voglia dire:
"Nel sostituire la funzione con la sua retta tangente"
in che modo?
Vuol dire considerare l'ordinata della retta tangente al posto dell'ordinata della funzione, in corrispondenza di un medesimo punto x che si trova nell'intorno del punto x0.
Namasté!
Quindi se considerassi ad esempio una parabola e la retta tangente al suo vertice, ossia una retta parallela all'asse x, l'errore sarebbe la distanza che vi è tra la retta e la parabola in ogni punto giusto? Ma non sono tutti diversi gli errori?
Immagina di avere la possibilità di ingrandire il punto in cui la parabola ha il suo vertice, allora vedresti che la fuzione, in un intorno del vertice coincide proprio con la sua retta tangente.
Non pensare di approssimare la funzione globalmente, ma solo localmente, su intorno piccolo del punto.
quindi, considerando solo l'intorno l'errore è unico giusto? Praticamente, considerando la formula di Taylor, ogni volta che faccio la derivata della derivata è come se piegassi la mia tangente fino a farla combaciare con la parabola? (usando molta fantasia)
Bravissimo, è proprio quello il punto! (Molto pittoresco ma efficace!)
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