Soluzioni
  • Cominciamo con la risoluzione della parte relativa ai valori assoluti (come risolvere le disequazioni con valori assoluti).

    |x-1|-|\sqrt{x}-x| < 0

    Poniamo quindi gli argomenti dei moduli maggiori o uguali a zero, in sostanza studiamo separatamente i segni degli argomenti:

    \bullet \ x-1 \ge 0

    è una disequazione di primo grado verificata per x\ge 1.

    \bullet \ \sqrt{x}-x \ge 0

    è una disequazione irrazionale.

    Basandoti sulla lezione dell'ultimo link vedrai che questa disequazione si risolve grazie all'unione dei due sistemi di disequazioni

    \begin{cases}x\ge 0 \\ x\ge x^2 \end{cases} \ \cup \ \begin{cases}x\ge 0 \\ x<0 \end{cases}

    Il secondo non ha soluzioni (basta guardarlo), mentre il primo sistema è verificato per 

    0 \le x \le 1

    e questa è la soluzione della nostra disequazione irrazionale.

    Lo studio del segno degli argomenti dei due valori assoluti è concluso. Disegnamo allora la tabella dei segni grazie alla quale saranno ben definiti i vari intervalli su cui dobbiamo studiare la disequazione di partenza (la linea continua indica la parte positiva, quella trattegiata la parte negativa).

     

    Tabella segno disequazione irrrazionale con valore assoluto

     

    Come puoi vedere si sono formati tre intervalli:

    x \le 0, \ \ 0<x\le 1, \ \ x>1

    Dobbiamo quindi impostare tre sistemi di disequazioni, ciascuno formato da due disequazioni.

    La prima disequazione indicherà l'intervallo su cui stiamo lavorando, la seconda sarà la forma assunta dalla disequazione di partenza in base al segno degli argomenti dei valori assoluti in quell'intervallo.

    La soluzione della disequazione di partenza sarà data dall'unione delle soluzioni dei tre sistemi che ora imposteremo:

    \mbox{S}_1: \ \begin{cases} x\le 0 \\ -x+1-(-\sqrt{x}+x) < 0\end{cases}

    abbiamo cambiato il segno ad entrambi gli argomenti del modulo in quanto, come puoi vedere dalla tabella del segno, per x<0 sono entrambi negativi.

    Ragionando allo stesso modo:

    \mbox{S}_2: \ \begin{cases} 0<x\le 1 \\ -x+1-(\sqrt{x}-x) < 0\end{cases}

    \mbox{S}_3: \ \begin{cases} x>1 \\ x-1-(-\sqrt{x}+x) < 0\end{cases}

    Sommando i termini simili ci rifacciamo quindi all'unione dei tre sistemi:

    \mbox{S}_1:\ \begin{cases}x \le 0 \\ -2x+1+\sqrt{x}<0\end{cases} \bigcup \ \ \ \mbox{S}_2: \ \begin{cases} 0<x\le 1 \\ 1-\sqrt{x} < 0 \end{cases} \bigcup \ \ \ \mbox{S}_3: \ \begin{cases}x>1 \\ \sqrt{x}-1 < 0 \end{cases}

    Risoluzione del primo sistema

    \mbox{S}_1:\ \begin{cases}x \le 0 \\ -2x+1+\sqrt{x} < 0 \end{cases}

    La prima disequazione è a posto. La seconda è una disequazione irrazionale che possiamo riscrivere come:

    \sqrt{x}<2x-1

    Essa equivale al sistema

    \begin{cases}x\ge 0 \\ 2x-1>0 \\ x < (2x-1)^2\end{cases}

    ovvero dopo aver sviluppato il quadrato di binomio e fatto qualche conticino ci riconduciamo al sistema

    \begin{cases}x \ge 0 \\ x > \frac{1}{2} \\ 4x^2-5x+1>0\end{cases}

    La terza è una disequazione di secondo grado che ha come soluzioni

    x<\frac{1}{4} \ \vee \ x>1

    e quindi il sistema risolvente l'equazione diventa:

    \begin{cases}x \ge 0 \\ x>\frac{1}{2} \\ x<\frac{1}{4} \ \vee \ x>1 \end{cases}

    la cui soluzione (data dall'intersezione delle tre) è x>1

    Morale della favola:

    \mbox{S}_1:\ \begin{cases}x \le 0 \\ -2x+1+\sqrt{x} < 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \le 0 \\ x>1 \end{cases}

    che, evidentemente, non ha soluzioni.

    Risoluzione del secondo sistema

    \mbox{S}_2: \ \begin{cases} 0<x\le 1 \\ 1-\sqrt{x} < 0 \end{cases}

    La prima disequazione è ok. La seconda è ancora una disequazione irrazionale:

    \sqrt{x}>1

    La lascio a te. In caso di dubbi rifatti alla nostra guida su come rislvere le disequazioni irrazionali che ti ho linkato all'inizio ;)

    La sua soluzione è x>1. Il secondo sistema pertanto diventa:

    \mbox{S}_2: \ \begin{cases} 0<x\le 1 \\ x>1 \end{cases}

    Anch'esso senza soluzioni.

    Risoluzione del terzo sistema

    Infine, anche il terzo sistema

    \mbox{S}_3: \ \begin{cases}x>1 \\ \sqrt{x}-1 < 0 \end{cases}

    non ha soluzioni.

    Infatti la seconda disequazione

    \sqrt{x}<1

    essendo verificata per 0\le x < 1

    ci permette di ricondurci a

    \mbox{S}_3: \ \begin{cases}x>1 \\ 0 \le x < 1 \end{cases}

    il quale è impossibile.

    Unione delle soluzioni

    Ricordando che le soluzioni della nostra disequazione di partenza erano date dall'unione delle soluzioni dei tre sistemi

    \mbox{S}_1, \ \mbox{S}_2, \ \mbox{S}_3

    e tutti e tre non ammettono soluzioni, possiamo concludere che la nostra disequazione è impossibile.

    S=\emptyset

    Risposta di Galois
 
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