Soluzioni
  • Buongiorno Kitty, arrivo a risponderti!

    Risposta di Omega
  • Per risolvere l'integrale, dobbiamo completare il quadrato a denominatore nel modo seguente. Osserviamo che

    x^2+3x+7=x^2+3x+\frac{9}{4}+\frac{19}{4}

    fatto ciò, possiamo scrivere

    x^2+3x+7=\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{19}{4}

    e integrare per sostituzione

    y=x+\frac{3}{2}

    da cui

    x=y-\frac{3}{2}

    e quindi

    dx=dy

    sostituendo nell'integrale, troviamo

    \int{\frac{1}{x^2+3x+7}dx}=\int{\frac{1}{y^2+\frac{19}{4}}dy}

    dove l'integranda  ci ricorda moltissimo la derivata dell'arcotangente, a patto di riscrivere l'integranda stessa come

    \int{\frac{1}{y^2+\frac{19}{4}}dy}=\int{\frac{1}{\frac{19}{4}\left(\frac{y^2}{\frac{19}{4}}\right)}dy}

    portiamo fuori il fattore che c'è a denominatore

    \int{\frac{1}{\frac{19}{4}\left(\frac{y^2}{\frac{19}{4}}\right)}dy}=\frac{4}{19}\int{\frac{1}{\frac{y^2}{\frac{19}{4}}}dy}=\frac{4}{19} arctan\left(\frac{y}{\frac{2}{\sqrt{19}}}\right)=\frac{4}{19} arctan\left(\frac{\sqrt{19}y}{2}\right)

    Non resta che sostituire l'espressione di y in termini di x e abbiamo concluso l'esercizio.

    Per qualsiasi dubbio, chiedi pure.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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