Limite con radice per razionalizzazione

Il limite

produce una forma indeterminata , e per calcolarlo il modo più veloce consiste nel razionalizzare. Moltiplichiamo e dividiamo per

così che il limite si esprima nella forma equivalente

Eseguiamo il prodotto al numeratore sfruttando la regola sul prodotto tra una somma e una differenza così che il limite diventi

Sommando tra loro i termini simili scriveremo infine

Nonostante i passaggi algebrici, la forma di indecisione non è ancora sparita: più precisamente siamo passati ad una nuova forma di indecisione del tipo

Quando ci troviamo in tale situazione possiamo pensare bene limitarci a confrontare gli infiniti, più precisamente prendiamo in esame esclusivamente l'infinito di ordine superiore sia al numeratore che al denominatore.

Al numeratore il termine costante 5 può essere tranquillamente trascurato, mentre al denominatore trascureremo la somma presente nel radicando, giacché è l'infinito di ordine superiore all'interno della radice.

In accordo con le proprietà delle radici e con la definizione di valore assoluto scriviamo l'uguaglianza notevole

e poiché tale variabile è definitivamente negativa pertanto

Queste osservazioni ci permettono di esprimere il limite nella seguente forma

Il risultato del limite si ottiene semplificando sia a numeratore che a denominatore.