Soluzioni
  • Il modo migliore, e anzi l'unico, per risolvere la disequazione trascendente

    xe^x+1>0

    consiste nell'applicare il metodo del confronto grafico.

    Riscrivi cioè la disequazione come

    f(x)>g(x)

    e disegni i grafici delle funzioni f(x) e g(x).

    Le soluzioni della disequazione sono date dalle ascisse per le quali il grafico di f(x) si trova al di sopra del grafico di g(x).

    Nel nostro caso, possiamo prendere come funzioni

    f(x)=xe^x,\ \ \ g(x)=-1

    e, quasi quasi, possiamo risolvere la disequazione anche senza disegnare i grafici precisi delle due funzioni (o meglio, della prima...) ma semplicemente attuando un paio di considerazioni di carattere qualitativo.

    Innanzitutto, osserviamo che per x>0 la funzione f(x) è sempre positiva (prodotto di due funzioni positive), mentre la g(x) è negativa. Quindi x>0 è certamente un sottoinsieme dell'insieme delle soluzioni della disequazione.

    Passiamo al semiasse reale negativo. Guardiamo in particolare il

    \lim_{x\to -\infty}{f(x)}=0^-

    inoltre, se studiamo la derivata della funzione f(x) (è velocissimo da fare!) vediamo che essa è data da

    f'(x)=e^{x}(1+x)

    e studiando il segno della derivata (f '(x)>0) vediamo che la funzione è crescente per x>-1, decrescente per x<-1. in x abbiamo dunque un punto di minimo assoluto in cui la funzione f(x) vale

    f(-1)=-\frac{1}{e}>-1

    Questo è il valore più basso che il grafico della funzione f(x) raggiunge, e sta al di sopra dell'ordinata y=-1=g(x).

    Dovrebbe essere allora evidente che le soluzioni dell'equazione sono tutti i valori reali.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
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