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  • Ciao Marina, arrivo a risponderti! Wink

    Risposta di Omega
  • Intanto premetto che l'uso che fai di YouMath mi piace molto, perché sei propositiva e proponi la tua interpretazione personale dei dubbi di cui ci chiedi. :)

    Ora veniamo a noi: come giustamente fai notare i limiti

    \lim_{x\to +\infty}{\frac{\sin{(x)}}{x}}

    e

    \lim_{x\to 0}{{x\cos{\left(\frac{1}{x^2}\right)}}}

    esistono. Questo perché in entrambi i casi sappiamo che seno e coseno sono funzioni a valori limitati tra -1 ed 1, e la presenza di un infinito che divide il seno (la x nel primo caso) e di uno zero che moltiplica il coseno (il fattore x nel secondo caso) non pone problemi nel calcolo del risultato. Questo è una diretta conseguenza dell'Algebra degli infiniti e degli infinitesimi e del teorema del confronto per i limiti.

    Ora prendiamo

    \lim_{x\to\infty}{x\sin{(x)}}

    che non esiste, perché come saprai un limite esiste se e solo se coincidono il limsup ed il liminf, che qui valgono rispettivamente + infinito e - infinito. Per farla breve, all'infinito questa funzione continua ad oscillare tra valori positivi e negativi illimitati.

    L'idea che proponi nell'applicare il teorema del confronto in realtà non è applicabile perché, per poter applicare il teorema del confronto, il minorante e il maggiorante devono tendere allo stesso limite, e questo non capita nel nostro caso: -x tende infatti a -infinito, +x tende invece a +infinito quando x tende a più infinito.

    Spero di essermi espresso chiaramente. Se hai ulteriori dubbi, sono qui!

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Sei stato come sempre molto chiaro! Ma non capisco ancora perchè il lim x-->0 [x cos(1/x^2)]..in questo caso 1/x^2 è 1/0 e fa infinito...ma il coseno di infinito esiste? Insomma l'unico modo che ho di svolgere questo limite è il teorema del confronto e quindi -|x|<=|x| cos (1/x^2) <=|x|..perchè ritrovo la stessa difficoltà anche quando svolgo altre forme indeterminate del tipo lim per x che tende a 0+ di (x logx)..forse ho dei problemi con questa forma indeterminata bah..scusami ancora!!
                                                                                  

     

    Risposta di Marina
  • Non devi scusarti!

    Il limite del coseno per argomento tendente ad infinito non esiste, perché non puoi sapere a priori quale valore assume. Il problema nasce dalla periodicità del coseno (o più in generale delle funzioni trigonometriche), per convincersene è sufficiente ricordare la definizione di coseno e dare un'occhiata al grafico.

    Non lasciarti ingannare dal limite! :) Il tranello consiste proprio nell'indurti a scervellarti nel cercare un metodo di risoluzione, il punto è che se moltiplichi uno zero (la x) per un numero che non sai quanto è (cos(1/x2))  ma sai che è comunque finito, allora la risposta è: 0. Automatico, pulito, semplice.

    Non è una forma indeterminata: una forma indeterminata sarebbe 0\cdot\infty nel qual caso non potresti dire nulla a priori e avresti sì bisogno di un qualche limite notevole, un teorema, un qualche metodo di risoluzione.

    AD ESEMPIO, non puoi risolvere il un colpo solo il limite

    \lim_{x\to 0^+}{x\log{(x)}}

    che genera una forma indeterminata \left[\frac{0}{\infty}\right], ma con un piccolo barbatrucco algebrico lo puoi riscrivere come

    \lim_{x\to 0^+}{\frac{\log{(x)}}{\frac{1}{x}}}

    e concludere dalle regole del confronto tra infiniti che il limite è 0^-.

    Così è più chiaro?

    Risposta di Omega
 
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