Convergenza della serie al variare di un numero reale positivo

Question

Vorrei capire questo esercizio sulla convergenza di una serie dipendente da un numero reale positivo: Σ_(n = 1)^(∞)((2n)!)/((n!)^2)β^(-n)

Fulvio Sbranchella · Accepted Answer

Ciao leoncinakiara ;) Dobbiamo studiare il carattere della serie parametrica Σ_(n = 1)^(∞)((2n)!)/((n!)^2)β^(-n) dove sappiamo che β è un numero reale positivo. Poiché siamo di fronte ad una serie a termini positivi per cui è verificata la condizione necessaria di convergenza, possiamo procedere con il criterio del rapporto. Per come sono definite le potenze con esponente negativo abbiamo che β^(-n) = (1)/(β^n) Pertanto detto a_n = ((2n)!)/((n!)^2)β^(-n) lo possiamo riscrivere come a_n = ((2n)!)/((n!)^2)(1)/(β^(n)) Di conseguenza a_(n+1)((2n+2)!)/([(n+1)!]^2)(1)/(β^(n+1)) Calcoliamo ora (a_(n+1))/(a_n) = a_(n+1)·(1)/(a_n) = ((2n+2)!)/([(n+1)!]^2)(1)/(β^(n+1))·((n!)^2β^n)/((2n)!) Arrivati a questo punto facciamo intervenire la definizione di fattoriale, grazie alla quale possiamo scrivere [(n+1)!]^2 = [n!(n+1)]^2 = [(n)!]^2(n+1)^2 (2n+2)! = (2n)!(2n+1)(2n+2) Sostituendo nell'espressione precedente risulta (a_(n+1))/(a_n) = ((2n)!(2n+1)(2n+2))/([(n)!]^2(n+1)^2)(1)/(β^(n+1))·((n!)^2β^n)/((2n)!) Semplificando e ricordando le proprietà delle potenze: (a_(n+1))/(a_n) = ((2n+1)(2n+2))/((n+1)^2β) Concludiamo svolgendo i prodotti a numeratore e sviluppando il quadrato di binomio a denominatore (a_(n+1))/(a_n) = (4n^2+6n+2)/((n^2+2n+1)β) Poiché ci siamo prosposti di utilizzare il criterio del rapporto, di tale quantità dobbiamo calcolare il limite per n che tende a più infinito. Procedendo con un confronto tra infiniti abbiamo lim_(n → +∞)(a_(n+1))/(a_n) = lim_(n → +∞)(4n^2+6n+2)/((n^2+2n+1)β) = (4)/(β) Possiamo quindi concludere che per (4)/(β) < 1 ossia per β > 4 la serie converge. Attenzione però: non possiamo dire nulla se il limite calcolato in precedenza è uguale a 1, ovvero se β = 4. In tal caso ci ritroviamo con la serie numerica Σ_(n = 1)^(∞)((2n)!)/(4^(n)(n!)^2) che diverge positivamente. Lo studio è concluso! Essendo infatti β un numero reale positivo possiamo concludere che per 0 < β≤4 la serie diverge positivamente e per β > 4 la serie converge.