Soluzioni
  • Ciao leoncinakiara ;)

    Dobbiamo studiare il carattere della serie parametrica

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{(n!)^2}\beta^{-n}

    dove sappiamo che β è un numero reale positivo.

    Poiché siamo di fronte ad una serie a termini positivi per cui è verificata la condizione necessaria di convergenza, possiamo procedere con il criterio del rapporto.

    Per come sono definite le potenze con esponente negativo abbiamo che

    \beta^{-n}=\frac{1}{\beta^n}

    Pertanto detto

    a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\beta^{-n}

    lo possiamo riscrivere come

    a_n=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\frac{1}{\beta^{n}}

    Di conseguenza

    a_{n+1}\frac{(2n+2)!}{[(n+1)!]^2}\frac{1}{\beta^{n+1}}

    Calcoliamo ora

    \frac{a_{n+1}}{a_n}=a_{n+1}\cdot \frac{1}{a_n}=

    =\frac{(2n+2)!}{[(n+1)!]^2}\frac{1}{\beta^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2\beta^n}{(2n)!}

    Arrivati a questo punto facciamo intervenire la definizione di fattoriale, grazie alla quale possiamo scrivere

    [(n+1)!]^2=[n!(n+1)]^2 = [(n)!]^2(n+1)^2

    (2n+2)!=(2n)!(2n+1)(2n+2)

    Sostituendo nell'espressione precedente risulta

    \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n)!(2n+1)(2n+2)}{[(n)!]^2(n+1)^2}\frac{1}{\beta^{n+1}} \cdot \frac{(n!)^2\beta^n}{(2n)!}

    Semplificando e ricordando le proprietà delle potenze:

    \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1)^2\beta}

    Concludiamo svolgendo i prodotti a numeratore e sviluppando il quadrato di binomio a denominatore

    \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{4n^2+6n+2}{(n^2+2n+1)\beta}

    Poiché ci siamo prosposti di utilizzare il criterio del rapporto, di tale quantità dobbiamo calcolare il limite per n che tende a più infinito.

    Procedendo con un confronto tra infiniti abbiamo

    \lim_{n\to +\infty}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\lim_{n\to +\infty}{\frac{4n^2+6n+2}{(n^2+2n+1)\beta}}=\frac{4}{\beta}

    Possiamo quindi concludere che per

    \frac{4}{\beta}<1

    ossia per

    \beta>4 la serie converge.

    Attenzione però: non possiamo dire nulla se il limite calcolato in precedenza è uguale a 1, ovvero se β=4.

    In tal caso ci ritroviamo con la serie numerica

    \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)!}{4^{n}(n!)^2}

    che diverge positivamente.

    Lo studio è concluso! Essendo infatti β un numero reale positivo possiamo concludere che per 0<β≤4 la serie diverge positivamente e per β>4 la serie converge.

    Risposta di Omega
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