Soluzioni
  • Ciao Danilo, rispondo alla prima richiesta; sai che da regolamento risolviamo un esercizio per domanda, non per cattiveria, ma per permettere agli altri utenti di trovare esercizi specifici in ogni domanda.

    Come dicevo...rispondo al primo esercizio, poi vediamo se aprire un'altra domanda! Wink

    Risposta di Alpha
  • ok ;)

    Risposta di Danilo
  • Allora...effettivamente i primi passaggi sembrano tornare: la serie in esame è

     

    \sum_{n=1}^{\infty}x^ne^{-nx^2}

     

    cioè

     

    \sum_{n=1}^{\infty}(xe^{-x^2})^n

     

    Ponendo

     

    y=xe^{-x^2}

     

    otteniamo

     

    \sum_{n=1}^{\infty}y^n

     

    che converge puntualmente e assolutamente per

     

    y\in (-1,1)

     

    cioè

     

    xe^{-x^2}\in (-1,1)

     

    In particolare si noti che la funzione

     

    f(x)=xe^{-x^2}

     

    ha come massimo e minimo rispettivamente i valori

     

    \frac{1}{\sqrt{2e}}

     

    e

     

     

    -\frac{1}{\sqrt{2e}}

     

    e sono massimo e minimo assoluti. Dunque

     

    xe^{-x^2}\in [-\frac{1}{\sqrt{2e}},\frac{1}{\sqrt{2e}}]

     

    in particolare

     

    [-\frac{1}{\sqrt{2e}},\frac{1}{\sqrt{2e}}]\subset (-1,1)

     

    Intervallo in cui la serie geometrica converge uniformemente e puntualmente.

    Risposta di Alpha
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