Convergenza puntuale e uniforme di una serie di potenze con coseno

Question

Ho bisogno di una mano per studiare la convergenza uniforme di una serie di potenze che coinvolge il coseno. Secondo il mio professore, non è possibile usare il criterio di D'Alembert per il calcolo del raggio di convergenza, né quello di Cauchy−Hadamard. Come dovrei procedere? Studiare la convergenza puntuale e quella uniforme della serie di potenze Σ_(n = 1)^(+∞)cos(n)x^(n) Grazie.

Redazione di YouMath · Accepted Answer

Lo studio della serie di potenze Σ_(n = 1)^(+∞)cos(n)x^(n) è molto complicato perché non è possibile usare né il criterio di D'Alembert, né il criterio di Cauchy−Adamart : indicato con a_n = cos(n) il termine generale della serie, i limiti lim_(n → +∞)[n]√(|a_n|) e lim_(n → +∞)|(a_(n+1))/(a_n)| sono piuttosto complicati da analizzare, pertanto è preferibile cambiare approccio e rifarsi alla definizione stessa di raggio di convergenza. Il raggio di convergenza della serie di potenze è l'estremo superiore del seguente insieme di convergenza I = x∈R : Σ_(n = 1)^(+∞)cos(n)x^(n) converge ossia R = supx∈R : Σ_(n = 1)^(+∞)cos(n)x^(n) converge Insieme di convergenza della serie Fissato x∈R Σ_(n = 1)^(+∞)cos(n)x^(n) è una serie a segni variabili, ecco perché inizieremo con lo studio della convergenza assoluta. Per ogni x∈R sussistono le relazioni, giustificate dalle proprietà del valore assoluto e dalla limitatezza del coseno |cos(n)x^n| = |cos(n)| |x|^n ≤ |x|^n pertanto Σ_(n = 1)^(+∞)|cos(n)x^(n)| ≤ Σ_(n = 1)^(+∞)|x|^n Al secondo membro ritroviamo la serie geometrica di ragione |x| Σ_(n = 1)^(+∞)|x|^n che sappiamo essere convergente se e solo se la ragione è minore di 1 |x| < 1 → −1 < x < 1 Usiamo il criterio del confronto per le serie, il quale garantisce la convergenza della serie Σ_(n = 1)^(+∞)|cos(n)x^(n)| a patto che x∈ (−1,1). Di conseguenza Σ_(n = 1)^(+∞)cos(n)x^(n) converge assolutamente in (−1,1). Se x ≤ −1 oppure se x ≥ 1, Σ_(n = 1)^(+∞)cos(n)x^(n) non converge perché non è rispetta la condizione necessaria per la convergenza di una serie: il limite del termine generale lim_(n → +∞)a_n = lim_(n → +∞)cos(n)x^(n) non esiste nemmeno. Alla luce di quanto detto, l'insieme di convergenza della serie di potenze è I = (−1,1) e il suo raggio di convergenza è R = sup(−1,1) = 1. Convergenza uniforme della serie di potenze In accordo con la teoria delle serie di potenze, la convergenza uniforme della serie è assicurata in ogni compatto [a,b] contenuto nell'insieme I. È fatta!