Soluzioni
  • Lo studio della serie di potenze

    \sum_{n=1}^{+\infty}\cos(n)x^{n}

    è molto complicato perché non è possibile usare né il criterio di D'Alembert, né il criterio di Cauchy-Adamart : indicato con a_n=\cos(n) il termine generale della serie, i limiti

    \lim_{n\to+\infty}\sqrt[n]{|a_n|} \ \ \ \mbox{e} \ \ \ \lim_{n\to+\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|

    sono piuttosto complicati da analizzare, pertanto è preferibile cambiare approccio e rifarsi alla definizione stessa di raggio di convergenza.

    Il raggio di convergenza della serie di potenze è l'estremo superiore del seguente insieme di convergenza

    I=\left\{x\in\mathbb{R} \ : \ \sum_{n=1}^{+\infty}\cos(n)x^{n} \ \mbox{converge}\right\}

    ossia

    R=\sup\left\{x\in\mathbb{R} \ : \ \sum_{n=1}^{+\infty}\cos(n)x^{n}\ \mbox{converge}\right\}

    Insieme di convergenza della serie

    Fissato x\in\mathbb{R}

    \sum_{n=1}^{+\infty}\cos(n)x^{n}

    è una serie a segni variabili, ecco perché inizieremo con lo studio della convergenza assoluta. Per ogni x\in\mathbb{R} sussistono le relazioni, giustificate dalle proprietà del valore assoluto e dalla limitatezza del coseno

    |\cos(n)x^n|=|\cos(n)|\ |x|^n\le |x|^n

    pertanto

    \sum_{n=1}^{+\infty}|\cos(n)x^{n}|\le \sum_{n=1}^{+\infty}|x|^n

    Al secondo membro ritroviamo la serie geometrica di ragione |x|

    \sum_{n=1}^{+\infty}|x|^n

    che sappiamo essere convergente se e solo se la ragione è minore di 1

    |x|<1 \ \ \ \to \ \ \ -1<x<1

    Usiamo il criterio del confronto per le serie, il quale garantisce la convergenza della serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}|\cos(n)x^{n}|

    a patto che x\in (-1,1).

    Di conseguenza

    \sum_{n=1}^{+\infty}\cos(n)x^{n}

    converge assolutamente in (-1,1).

    Se x\le -1 oppure se x\ge 1,

    \sum_{n=1}^{+\infty}\cos(n)x^{n}

    non converge perché non è rispetta la condizione necessaria per la convergenza di una serie: il limite del termine generale

    \lim_{n\to+\infty}a_n=\lim_{n\to+\infty}\cos(n)x^{n}

    non esiste nemmeno.

    Alla luce di quanto detto, l'insieme di convergenza della serie di potenze è

    I=(-1,1)

    e il suo raggio di convergenza è R=\sup(-1,1)=1.

    Convergenza uniforme della serie di potenze

    In accordo con la teoria delle serie di potenze, la convergenza uniforme della serie è assicurata in ogni compatto [a,b] contenuto nell'insieme I.

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
MEDIEGeometriaAlgebra e Aritmetica
SUPERIORIAlgebraGeometriaAnalisiAltro
UNIVERSITÀAnalisiAlgebra LineareAlgebraAltro
EXTRAPilloleWiki
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Università - Analisi Matematica