Soluzioni
  • Eccomi, ciao leoncinakiara, il tempo di scrivere la risposta e sarò da te :)

     

    Risposta di Ifrit
  • Cominciamo!

    La serie dovrebbe essere

    \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2^n }{1+n 2^n}x^{2n}

    dobbiamo ricondurci ad una serie di potenze, cioè una serie di questo tipo:

    \sum_{n=1}^\infty a_n t^n

    nel nostro caso a_n=\frac{(-1)^n 2^n }{1+n 2^n}, mentre t= x^2.

    Il raggio di convergenza è definito come:

    \lim_{n\to \infty} \frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}= \lim_{n\to \infty}\frac{2+2^{n+1} n }{1+2^{n+1}(n+1)}

    Risolviamo il limite mettendo in evidenza a numeratore e a denominatore 2^{n+1}

     \lim_{n\to \infty}\frac{2+2^{n+1} n }{1+2^{n+1}(n+1)}= \lim_{n\to \infty}\frac{2^{n+1}\left(\frac{1}{2^n}+n\right)}{2^{n+1}\left(\frac{1}{2^{n+1}}+1+n\right)}

     

    Semplificando otteniamo:

    \lim_{n\to \infty}\frac{\left(\frac{1}{2^n}+n\right)}{\left(\frac{1}{2^{n+1}}+1+n\right)}

    Mettiamo in evidenza n sia a numeratore che a denominatore:

    \lim_{n\to \infty}\frac{n\left(\frac{1}{2^n n}+1\right)}{n \left(\frac{1}{2^{n+1}n}+\frac{1}{n}+1\right)}=1

     

    Il raggio di convergenza ci viene 1.

    La serie di partenza converge se |x^2|< 1

    e quindi

    x^2<1

    pertanto converge in

    x\in(-1, 1)

    Rimane da verificare cosa succede agli estremi:

    Per x=\pm 1, la serie diventa:

    \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n 2^n }{1+n 2^n}

    è una serie a segni alterni e per Liebnitz essa converge, questo perché la successione che interviene

    \frac{2^n }{1+n 2^n} è positiva decrescente e infinitesima.

     

    L'intervallo di convergenza è quindi:

     

    [-1, 1]

     

     

    Risposta di Ifrit
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