Soluzioni
  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Per determinare il raggio di convergenza della serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^n x^{n-1}}{\sqrt{n^2(1+n^2)}}}

    avremmo un problema per x=0 e n=1. Calcolo il raggio di convergenza di

    \sum_{n=2}^{+\infty}{\frac{(-1)^n x^{n-1}}{\sqrt{n^2(1+n^2)}}}

    e per evitare qualsiasi possibile fraintendimento nel caso in cui x=0, riscrivo la serie con il cambio di indici

    N=n-1

    da cui

    N=N+1

    \sum_{N=1}^{+\infty}{\frac{(-1)^{(N+1)} x^{N}}{\sqrt{(N+1)^2[1+(N+1)^2]}}}

    Fatto ciò, basta notare che gli unici casi in cui la serie diverge si hanno per

    x>1

    infatti in tal caso non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza (il termine generale della successione associata non tende a zero) mentre per

    x\textless-1

    la serie oscilla illimitata.

    Se x\in [-1,1] il criterio di Leibniz ci dice che la serie converge. Dunque il raggio di convergenza è R=1.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
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