Raggio di convergenza di una serie di potenze

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Devo calcolare il raggio di convergenza di una serie di potenze e successivamente trovarne l'insieme di convergenza. In linea di massima so come fare se la serie di potenze non ha un termine generale troppo elaborato, ma in casi come questo mi blocco e non riesco ad applicare il metodo. Aiutatemi per favore!

 

Σ_(n = 1)^(+∞)((-1)^n x^(n-1))/(√(n^2(1+n^2)))

Domanda di leoncinakiara

 
Soluzioni

  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega

  • Per determinare il raggio di convergenza della serie

    Σ_(n = 1)^(+∞)((-1)^n x^(n-1))/(√(n^2(1+n^2)))

    avremmo un problema per x=0 e n=1. Calcolo il raggio di convergenza di

    Σ_(n = 2)^(+∞)((-1)^n x^(n-1))/(√(n^2(1+n^2)))

    e per evitare qualsiasi possibile fraintendimento nel caso in cui x=0, riscrivo la serie con il cambio di indici

    N = n-1

    da cui

    N = N+1

    Σ_(N = 1)^(+∞)((-1)^(N+1) x^(N))/(√((N+1)^2[1+(N+1)^2]))

    Fatto ciò, basta notare che gli unici casi in cui la serie diverge si hanno per

    x > 1

    infatti in tal caso non è soddisfatta la condizione necessaria di convergenza (il termine generale della successione associata non tende a zero) mentre per

    x < -1

    la serie oscilla illimitata.

    Se x∈ [-1,1] il criterio di Leibniz ci dice che la serie converge. Dunque il raggio di convergenza è R = 1.

    Namasté!

     

    Risposta di Omega
 
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