Soluzioni
  • Ciao Leoncinakiara, arrivo a risponderti!

    Risposta di Omega
  • Per determinare il raggio della serie

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{x^{3n}5^n}{2n(2n+2)}}

    intanto la riscriviamo, grazie alle proprietà delle potenze, come

    \sum_{n=1}^{+\infty}{\frac{(5x^3)^n}{2n(2n+2)}}

    dopodiché osserviamo che se

    5x^3>1

    la serie diverge, se invece

    5x^3<-1

    la serie oscilla illimitata (basta confrontare gli ordini di infinito di numeratore e denominatore).

    Nel caso in cui

    5x^3\in (-1,1]

    allora la serie è evidentemente convergente, perché la potenza passa a denominatore. Se in particolare 5x^3=1 la serie si riduce ad una serie asintoticamente equivalente alla serie armonica generalizzata con esponente 2, che quindi converge.

    Resta da considerare il caso 5x^3=-1, in cui il criterio di Leibniz ci garantisce la convergenza agilmente.

    In definitiva, il raggio di convergenza è

    R=\frac{1}{\sqrt[3]{5}}

    Namasté!

    Risposta di Omega
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