Soluzioni
  • Arrivo...

    Risposta di Alpha
  • Partiamo da un'affermazione:

     

    I polinomi in R[x] irriducibili su R sono tutti e soli i polinomi di primo grado e quelli di secondo grado con discriminante negativo.

     

    Ti convince?

    Risposta di Alpha
  • si , l'avevo pensato , per questo ho difficoltà.

    Risposta di Giulialg88
  • Frown .....

     

    Risposta di Giulialg88
  • Con calma Giulia, sto scrivendo... 

    Risposta di Alpha
  • Il testo dell'esercizio non è molto chiaro! 

    Infatti, un polinomio di grado 5 puù essere scritto come prodotto di: 

    - 5 polinomi di grado 1: sono tutti irriducibili ma il tuo esercizio ci vieta di usare questa scrittura. Quindi non è questo il caso; 

     

    - 1 polinomio di grado 2 e 3 di grado 1: quindi è sufficiente scegliere il polinomio di grado 2 con delta negativo (in particolare, questo non aggiunge soluzioni reali a quelle date dal prodotto dei primi 3). Ad esempio: 

     

    p(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(1+x+x^2)

     

    (Credo che il tuo esercizio chieda questo...)

    - 2 polinomi irriducibili di grado 2 e 1 di grado 1: ma in questo caso avresti una sola soluzione reale. Sicuramente l'esercizio non richiede questo.

     

    Siccome ogni polinomio di grado superiore a 2 è riducibile in R , i casi sono esauriti.  

    Risposta di Alpha
  • Per questo avevo difficoltà, perché

    p(x)=(x-1)(x+1)(x-2)(1+x+x^2)

    i primi 3 sono di grado uno, quindi non va bene...

    Risposta di Giulialg88
  • Io credo che il testo del tuo esercizio si riferisca a non scrivere il polinomio con tutti i fattori di grado 1. Altrimenti, dovendo scrivere il prodotto di fattori riducibili, non avresti altre possibilità.

    Nel polinomio proposto da Alpha non tutti i fattori sono di grado 1, a mio avviso va bene e centra in pieno la richiesta dell'esercizio: far notare che ci sono polinomi di grado 2 irriducibili, riflettere sul fatto che un polinomio che ammette radici è riducibile, mentre un polinomio riducibile non necessariamente ammette radici.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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