Domanda sull'andamendo della derivata di una semplice funzione

Perchè se ho la funzione f(x)=1/x non posso dire che è decrescente per tutto R \{0} ? E devo invece considerare una semiretta alla volta?

Domanda di giacomo22
Soluzioni

Guarda, onestamente io non vedo il problema, procediamo in questo modo:

f(x) = (1)/(x)

f^(prime)(x) = -(1)/(x^2)

Ora, per studiare il segno della derivata dobbiamo risolvere la seguente disequazione:

-(1)/(x^2) ≥ 0

cioè

(1)/(x^2) ≤ 0

Ora sicuramente questa disequazione non è mai verificata, quindi la derivata è sempre negativa, e la tentazione di dire che la funzione decresce su tutto l'asse reale tolto lo 0 è forte. D'altra parte la funzione è discontinua in 0, l'asse y è un suo ansintoto e, per esattezza

lim_(x → 0^(-))(1)/(x) = -∞

e

lim_(x → 0^(+))(1)/(x) = +∞

Quindi come puoi dire che la funzione decresce ovunque? Dovrebbe risultare ancora più esplicito dal grafico:

Andamento della derivata di una funzione

Capisci bene che non è vero che decresce su tutto R!

Ti torna?

Risposta di Alpha

Non ho capito Alpha! Cioè ho capito che la funzione non decresce su tutto R, ma io ho tolto lo zero e quindi dovrebbe risultare corretta l'affermazione "la funzione decresce su tutto l'asse reale tolto lo 0" Undecided

Risposta di giacomo22

No, non puoi! Attento alle definizioni: una funzione è decrescente se considerando

x_1 ≤ x_2

deve essere

f(x_1) ≥ f(x_2)

Questo deve valere per qualunque coppia di punti nel dominio della funzione!

Proviamo a valutare la funzione di ascissa -1 e 1, sicuramente

-1 ≤ 1

ma se valutiamo la funzione in questi punti otteniamo

f(-1) = -1 ∧ f(1) = 1

Dunque

f(-1) ≤ f(1)

Quindi la funzione non è decrescente! L'unico modo per dire che è decrescente è limitarsi ai semiassi, cioè non considerare mai valori di x rispettivamente negativi e positivi, dove valutare la funzione.

Meglio adesso?

Risposta di Alpha

Ora ho capito!:) Grazie

Risposta di giacomo22

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