Domanda sull'andamendo della derivata di una semplice funzione

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Perchè se ho la funzione f(x)=1/x non posso dire che è decrescente per tutto R \{0} ? E devo invece considerare una semiretta alla volta?

Domanda di giacomo22

 
Soluzioni

  • Guarda, onestamente io non vedo il problema, procediamo in questo modo:

    f(x) = (1)/(x)

    f^(prime)(x) = -(1)/(x^2)

    Ora, per studiare il segno della derivata dobbiamo risolvere la seguente disequazione:

    -(1)/(x^2) ≥ 0

    cioè

    (1)/(x^2) ≤ 0

    Ora sicuramente questa disequazione non è mai verificata, quindi la derivata è sempre negativa, e la tentazione di dire che la funzione decresce su tutto l'asse reale tolto lo 0 è forte. D'altra parte la funzione è discontinua in 0, l'asse y è un suo ansintoto e, per esattezza

    lim_(x → 0^(-))(1)/(x) = -∞

    e

    lim_(x → 0^(+))(1)/(x) = +∞

    Quindi come puoi dire che la funzione decresce ovunque? Dovrebbe risultare ancora più esplicito dal grafico:

    Andamento della derivata di una funzione

    Capisci bene che non è vero che decresce su tutto R!

    Ti torna?

    Risposta di Alpha

  • Non ho capito Alpha! Cioè ho capito che la funzione non decresce su tutto R, ma io ho tolto lo zero e quindi dovrebbe risultare corretta l'affermazione "la funzione decresce su tutto l'asse reale tolto lo 0" Undecided

     

    Risposta di giacomo22

  • No, non puoi! Attento alle definizioni: una funzione è decrescente se considerando

    x_1 ≤ x_2

    deve essere

    f(x_1) ≥ f(x_2)

    Questo deve valere per qualunque coppia di punti nel dominio della funzione!

    Proviamo a valutare la funzione di ascissa -1 e 1, sicuramente

    -1 ≤ 1

    ma se valutiamo la funzione in questi punti otteniamo

    f(-1) = -1 ∧ f(1) = 1

    Dunque

    f(-1) ≤ f(1)

    Quindi la funzione non è decrescente! L'unico modo per dire che è decrescente è limitarsi ai semiassi, cioè non considerare mai valori di x rispettivamente negativi e positivi, dove valutare la funzione.

    Meglio adesso?

    Risposta di Alpha

  • Ora ho capito!:) Grazie

     

    Risposta di giacomo22
 
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