Domanda sull'andamendo della derivata di una semplice funzione
Perchè se ho la funzione f(x)=1/x non posso dire che è decrescente per tutto R \{0} ? E devo invece considerare una semiretta alla volta?
Guarda, onestamente io non vedo il problema, procediamo in questo modo:
Ora, per studiare il segno della derivata dobbiamo risolvere la seguente disequazione:
cioè
Ora sicuramente questa disequazione non è mai verificata, quindi la derivata è sempre negativa, e la tentazione di dire che la funzione decresce su tutto l'asse reale tolto lo 0 è forte. D'altra parte la funzione è discontinua in 0, l'asse y è un suo ansintoto e, per esattezza
e
Quindi come puoi dire che la funzione decresce ovunque? Dovrebbe risultare ancora più esplicito dal grafico:
Capisci bene che non è vero che decresce su tutto R!
Ti torna?
Risposta di Alpha
Non ho capito Alpha! Cioè ho capito che la funzione non decresce su tutto R, ma io ho tolto lo zero e quindi dovrebbe risultare corretta l'affermazione "la funzione decresce su tutto l'asse reale tolto lo 0" 
Risposta di giacomo22
No, non puoi! Attento alle definizioni: una funzione è decrescente se considerando
deve essere
Questo deve valere per qualunque coppia di punti nel dominio della funzione!
Proviamo a valutare la funzione di ascissa -1 e 1, sicuramente
ma se valutiamo la funzione in questi punti otteniamo
Dunque
Quindi la funzione non è decrescente! L'unico modo per dire che è decrescente è limitarsi ai semiassi, cioè non considerare mai valori di x rispettivamente negativi e positivi, dove valutare la funzione.
Meglio adesso?
Risposta di Alpha
Ora ho capito!:) Grazie
Risposta di giacomo22