Soluzioni
  • Poiché vogliamo risolvere il sistema di equazioni con il metodo grafico, dobbiamo disegnare tutti i luoghi geometrici individuati dalle equazioni del sistema.

    \begin{cases}y=x^2 \\ 4y+(1-2k)x-1=0 \\ -1<x<2\end{cases}

    La prima equazione individua la parabola di vertice nell'origine e passante per i punti (-1,1)\ \mbox{e} \ (1,1)

    y=x^2

    La seconda equazione individua un fascio proprio di rette F. Determiniamone il centro intersecando due qualsiasi rette appartenenti al fascio, (diamo due valori qualunque a k e mettiamo a sistema tra le equazioni delle due rette risultanti:

    Per k=0 otteniamo

    4y+x-1=0

    Per k=1, invece

    4y-x-1=0

    Il sistema che ne risulta è un sistema lineare

    \begin{cases}4y+x-1=0\\ 4y-x-1=0\end{cases}

    che possiamo risolvere, ad esempio, per sostituzione

    \begin{cases}x=1-4y\\ 4y-(1-4y)-1=0\ \to\ 8y-2=0\ \to\ y=\frac{1}{4}\end{cases}

    Sostituendo il valore di y=\frac{1}{4} nella prima equazione, otteniamo x=0, e quindi il centro del fascio di rette è C(x_C,y_C)=\left(0,\frac{1}{4}\right).

    L'ultima condizione è solo una restrizione sulle ascisse e individua una striscia di piano.

    Disegniamo tutto:

     

    Discussione grafica sistema di equazioni

     

    Ora che sappiamo con cosa abbiamo a che fare (parabola, fascio di rette e vincolo sulle x), possiamo passare alla discussione vera e propria: dobbiamo determinare i valori del parametro k\in\mathbb{R} affinché il sistema ammetta esattamente due soluzioni distinte.

    Per prima cosa determiniamo i punti di intersezione tra la parabola e le rette verticali che delimitano la striscia, di equazioni

    r:\ x=-1 \ \ \ \mbox{e} \ \ \ s:\ x=2

    Consideriamo cioè i due sistemi

    \begin{cases}y=x^2\\ x=-1\end{cases} \ \ \ ; \ \ \ \begin{cases}y=x^2\\ x=2\end{cases}

    Il primo è evidentemente soddisfatto dal punto A(x_A,y_A)=(-1,1), mentre il secondo è soddisfatto dal punto B(x_B,y_B)=(2,4).

    Il prossimo passaggio prevede di imporre la condizione di appartenenza dei punti A \ \mbox{e} \ B al fascio così da ricavare due valori di k: uno riferito alla retta passante per A e l'altro passante per B.

    Imponiamo che le coordinate di A soddisfino l'equazione del fascio

    \\ A\in F \ \to \ 4y_A+(1-2k)x_A-1=0\ \to \\ \\ \to \ 4\cdot 1+(1-2k)\cdot (-1)-1=0\ \to \ 2+2k=0

    L'equazione di primo grado è soddisfatta per k=-1, valore a cui è associata la retta

    r_{AC} \ : \ 3x+4y-1=0

    Imponiamo che le coordinate di B soddisfino l'equazione del fascio

    \\ B\in F\ \to \ 4y_{B}+(1-2k)x_{B}-1=0 \ \to \ \\ \\ \to \ 4\cdot 4+(1-2k)\cdot 2-1=0 \ \to \ 17-4k=0

    Isoliamo k al primo membro

    k=\frac{17}{4}

    e sostituiamo il valore ottenuto nell'equazione del fascio, così da ricavare l'equazione della retta passante per i punti B\ \mbox{e} \ C

    r_{BC} \ :\ 15x-8y+2=0

    r_{AC} \ \mbox{e} \ r_{BC} assumono il ruolo di rette limite: tutte quelle che si ottengono per -1<k<\frac{17}{4}, sono comprese tra le rette r_{AC}\ \mbox{e} \ r_{BC} e sono tali da intersecare la parabola in due punti distinti, come richiesto dal problema.

    Osserviamo che se k\le -1 oppure se k\ge\frac{17}{4}, il punto di intersezione tra il fascio di rette e la parabola incluso nella striscia è uno solo.

    È fatta!

    Risposta di Ifrit
 
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