Soluzioni
  • Eccomi, ciao Marina, il tempo di scrivere la risposta e sarò a disposizione !

     

    Risposta di Ifrit
  • Prego Ifrit! XD

    Risposta di Omega
  • Il limite è questo:

    \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n+1}

    Effettivamente hai ragione, dobbiamo ricondurci in qualche modo al limite notevole:

    \lim_{t\to\infty}\left(1+\frac{1}{t}\right)^{t}

     

    Il primo passo che mi è venuto in mente è quello di sommare e sottrarre 1 a numeratore, e la stessa cosa la faccio all'esponente:

    \left(\frac{n-1+1}{n-1}\right)^{n-1+1+1}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1+2}

    Ci siamo quasi, utilizzo le proprietà delle potenze:

    \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1+2}=\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^2 \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}

    Quando n\mbox{ tende a }\infty il fattore

    \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^2

    tende a 1. Abbiamo che:

    \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^2 =1

    Quello che ci interessa è il fattore:

    \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}

    Chiamiamo t=n-1 ed osserviamo che quando n tende a + infinito anche t lo fa, quindi

    \lim_{n\to +\infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}= \lim_{t\to \infty }\left(1+\frac{1}{t}\right)^t=e

    grazie a questa semplice sostituzione ci siamo ricondotti al limite notevole :)

     

    In conclusione:

     

    \lim_{n\to \infty}\left(\frac{n}{n-1}\right)^{n+1}= \lim_{n\to \infty}\left(1+\frac{1}{n-1}\right)^2 \left(1+\frac{1}{n-1}\right)^{n-1}= 1*e=e

     

    Se hai domande, ci sono dubbi, non tornano i conti, fammi un fischio :)

    Risposta di Ifrit
  • il procedimento con cui avevo iniziato a risolverlo io non funziona? perchè non è corretto? Il limite successivo che ho provato a risolvere, risulta giusto se lo riconduco anch'esso al limite notevole ma se uso il raccoglimento alla rovescia(termine più alto) il risultato è diverso, e sbagliato.
    Grazie ancora!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    :)

    Risposta di Marina
  • Non è sbagliato in linea di principio, è sbagliato se si sbagliano i conti! Surprised

    Un'alternativa prevede lo smanettamento algebrico e puoi riscrivere il numeratore come

    \frac{n}{n-1}\frac{n-1+1}{n-1}=\1+\frac{1}{n-1}

    che poi è esattamente lo stesso risultato che ottieni con la sostituzione proposta da Ifrit.

    Morale: occhio ai calcoli che si può spezzare il numeratore ma non si può spezzare il denominatore, se ho ben compreso la tua osservazione.

    Se il problema è risolto, o quando lo sarà, ti chiedo la cortesia di cliccare su "Accetta risposta" nella risposta di Ifrit. Grazie Wink

    Namasté!

    Risposta di Omega
  • Ciao Marina , perdonami se sono in ritardissimo nella risposta! Non ero in linea. Non ho capito molto bene i passaggi che hai effettuato. Potresti riscriverli per piacere? :)

     

    Risposta di Ifrit
  • Certo:)

    Ho diviso la frazione in due parti, ossia n/n + n/-1 e da lì ho continuato ma non credo si possa fare..giusto?!

    :)

    Risposta di Marina
  • Certo:)

    Ho diviso la frazione in due parti, ossia n/n + n/-1 e da lì ho continuato ma non credo si possa fare..giusto?!

    :)

    Risposta di Marina
  • no, decisamente no Wink

    Risposta di Alpha
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
UNIVERSITÀ Analisi Algebra Lineare Algebra Altro
EXTRA Vita quotidiana
 
Esercizi simili e domande correlate
Domande della categoria Uni-Analisi