Soluzioni
  • Ciao Danilo, arrivo a risponderti...

    Risposta di Omega
  • Il top del top qui è passare ad un sistema di coordinate polari:

    x=r\cos{(\theta)}

    y=r\sin({\theta})

    in questo modo la funzione diventa

    f(x,y)=r^2\sin^{2}{(\theta)}(r^2-2r\cos{(\theta)})

    e i vincoli:

    r^2<4

    r^2-r\cos{(\theta)}-r\sin{(\theta)}<0

    r\sin{(\theta)}>0

    Ora osserviamo che riscrivendo il primo e il secondo vincolo troviamo

    r\in(-2,2)

    r\in(0,\sin{(\theta)}+\cos{(\theta)})

    Dal terzo, ricaviamo

    \sin{(\theta)}>0

    poichè la somma di seno e coseno è sempre più piccola di 2, possiamo sostituire i primi due vincoli con

    r\in(0,\sin{(\theta)}+\cos{(\theta)})

    Fin qui ti torna?

     

     

     

    Risposta di Omega
  • ok ;) continuamo :)

     

    Risposta di Danilo
  • Ripensandoci credo che il modo più veloce per risolvere il problema non consista nell'usare una parametrizzazione. Mi spiego: dato che i vincoli sono così bellini perché non cercare tutti i massimi/minimi della funzione e poi confrontarli con i vincoli? Provo a procedere così, a meno che l'esercizio non ti richieda espressamente di risolvere con un0opportuna parametrizzazione.

    Risposta di Omega
  • potresti farmi vedere come??

     

    Risposta di Danilo
  • È sufficiente porre il gradiente della funzione uguale a 0 e studiare i punti in cui si annulla, per poi confrontare tali punti con le condizioni date dai vincoli:

     

    \left\{\begin{matrix}2xy^2-2y^2=0\\2x^2y+4y^3-4xy=0\end{matrix}

     

    \left\{\begin{matrix}2y^2(x-1)=0\\2y(x^2+2y^2-4x)=0\end{matrix}

     

    Le soluzioni del sistema sono date dai punti

     

    (1,0), (1,\frac{\sqrt{2}}{2}), (1,-\frac{\sqrt{2}}{2})

     

    Calcolando l'Hessiana, la matrice delle derivate seconde parziali troverai che i punti

     

    (1,\frac{\sqrt{2}}{2}), (1,-\frac{\sqrt{2}}{2})

     

    sono punti di minimo.

    Inoltre l'unico punto all'interno della regione definita dai vincoli è

     

    (1,\frac{\sqrt{2}}{2})

     

    Dunque questo punto è un minimo. Per quanto riguarda i massimi, l'insieme definito dai vincoli è aperto, la funzione è crescente nella regione vincolata, dunque non ammette certo massimo. In sostanza lo studio di quella regione priva di bordo è abbastanza singolare...sicuro che i vincoli dell'esercizio non lo comprendessero?

    Risposta di Alpha
  • no è cosi :)

     

    Risposta di Danilo
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