Funzione continua con due rami e due parametri

Consideriamo la funzione

È una funzione definita a tratti, cioè descritta mediante due leggi che valgono sui rispettivi sotto-domini. Più precisamente vige la legge

mentre vige la legge

Sia che sono funzioni continue sui propri "territori", o meglio sui loro insiemi di definizione. Osserviamo infatti che:

è la funzione radice quadrata, notoriamente continua nel suo dominio.

è una funzione polinomiale, il cui grafico coincide con una parabola se , mentre coincide con una retta se Indipendentemente dai valori assunti da la funzione è continua nel suo sotto-dominio.

Il punto in cui bisogna approfondire l'indagine è il cosiddetto punto di raccordo, ossia quel punto in cui la funzione cambia la sua espressione analitica: dobbiamo pretendere la continuità di nel punto .

In accordo con la definizione di funzione continua in un punto dobbiamo richiedere che i limiti destro e sinistro coincidano con il valore che la funzione assume in . In altri termini deve sussistere la catena di uguaglianze

Calcoliamo il limite sinistro per osservando che in questo caso interviene la legge perché tende a per valori più piccoli di di conseguenza rientriamo nel "territorio" di

Calcoliamo il limite destro per osservando che, in tale occasione, interviene la legge giacché tende a per valori più grandi di , di conseguenza rientriamo nel territorio su cui vige

Determiniamo infine il valore che la funzione assume in . Il ramo da prendere in considerazione è il primo giacché appartiene al primo territorio

di conseguenza

Utilizziamo l'uguaglianza con cui assicurare la continuità in per ottenere la relazione che lega il parametro al parametro : rimpiazzando i valori

diventa

da cui

Concludiamo che la funzione è continua sull'intero intervallo chiuso se e solo se sussiste la relazione

Abbiamo portato a termine il problema.