Soluzioni
  • Consideriamo la funzione

    f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}&\mbox{se} \ x\in\left[0,\frac{1}{2}\right] \\ ax^2+bx&\mbox{se} \ x\in\left(\frac{1}{2},1\right]\end{cases}

    È una funzione definita a tratti, cioè descritta mediante due leggi che valgono sui rispettivi sotto-domini. Più precisamente vige la legge

    f_{1}(x)=\sqrt{x}\ \ \ \mbox{quando}\ x\in\left[0,\frac{1}{2}\right]

    mentre vige la legge

    f_{2}(x)=ax^2+bx\ \ \ \mbox{quando}\ x\in\left(\frac{1}{2},1\right]

    Sia f_{1}(x) che f_{2}(x) sono funzioni continue sui propri "territori", o meglio sui loro insiemi di definizione. Osserviamo infatti che:

    \bullet \ \ \ f_{1}(x) è la funzione radice quadrata, notoriamente continua nel suo dominio.

    \bullet \ \ \ f_{2}(x) è una funzione polinomiale, il cui grafico coincide con una parabola se a\ne0, mentre coincide con una retta se a=0. Indipendentemente dai valori assunti da a\ \mbox{e} \ b la funzione è continua nel suo sotto-dominio.

    Il punto in cui bisogna approfondire l'indagine è il cosiddetto punto di raccordo, ossia quel punto in cui la funzione f(x) cambia la sua espressione analitica: dobbiamo pretendere la continuità di f(x) nel punto x_0=\frac{1}{2}.

    In accordo con la definizione di funzione continua in un punto dobbiamo richiedere che i limiti destro e sinistro coincidano con il valore che la funzione assume in x_0. In altri termini deve sussistere la catena di uguaglianze

    \lim_{x\to\frac{1}{2}^+}f(x)=\lim_{x\to\frac{1}{2}}f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)

    Calcoliamo il limite sinistro per x\to\frac{1}{2} osservando che in questo caso interviene la legge f_{1}(x) perché x tende a \frac{1}{2} per valori più piccoli di \frac{1}{2} di conseguenza rientriamo nel "territorio" di f_{1}(x)

    \lim_{x\to\frac{1}{2}^{-}}f(x)=\lim_{x\to\frac{1}{2}^-}\sqrt{x}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

    Calcoliamo il limite destro per x\to\frac{1}{2} osservando che, in tale occasione, interviene la legge f_{2}(x) giacché x tende a \frac{1}{2} per valori più grandi di \frac{1}{2}, di conseguenza rientriamo nel territorio su cui vige f_{2}(x)

    \lim_{x\to\frac{1}{2}^{+}}f(x)=\lim_{x\to\frac{1}{2}^{+}}\left(ax^2+bx\right)=\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b=\frac{a+2b}{4}

    Determiniamo infine il valore che la funzione f(x) assume in x_0=\frac{1}{2}. Il ramo da prendere in considerazione è il primo giacché x_0 appartiene al primo territorio

    \frac{1}{2}\in\left[0, \frac{1}{2}\right]

    di conseguenza

    f\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}

    Utilizziamo l'uguaglianza con cui assicurare la continuità in \frac{1}{2} per ottenere la relazione che lega il parametro a al parametro b: rimpiazzando i valori

    \lim_{x\to\frac{1}{2}^+}f(x)=\lim_{x\to\frac{1}{2}}f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)

    diventa

    \frac{a+2b}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}

    da cui

    a+2b=2\sqrt{2}\to a=2(\sqrt{2}-b)

    Concludiamo che la funzione f(x) è continua sull'intero intervallo chiuso [0,1] se e solo se sussiste la relazione

    a=2(\sqrt{2}-b)

    Abbiamo portato a termine il problema.

    Risposta di Ifrit
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