Problema insieme aperto, chiuso e limitato

Ragazzi non riesco a svolgere questo esercizio di analisi su un insieme aperto, chiuso e (o) limitato. Grazie in anticipo se vorrete aiutarmi. Sia dato l'insieme

 

A:=\left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }\frac{e^{x^2}-3}{\log_{\frac{1}{4}}{(x)}}<0\right\}.

 

Dire se A è aperto, chiuso, limitato. Determinare inoltre l'insieme dei punti di accumulazione di A in R.

 

Aiutatemi per favore, è importante per me questo esercizio...grazie!

In Uni - Analisi - Domanda di peppone19

Soluzioni

  • Ciao Peppone19, arrivo a risponderti subito!

    Risposta di Omega

  • Intanto premetto che tutta la teoria che ti serve la trovi tra le lezioni sugli insiemi reali.

    L'insieme che stiamo considerando è

    A:=\left\{x\in\mathbb{R}\mbox{ t.c. }\frac{e^{x^2}-3}{\log_{\frac{1}{4}}{(x)}}<0\right\}

    Per dare ad A una forma più comprensibile dobbiamo semplicemente risolvere la disequazione fratta che ne definisce gli elementi. A tal fine, studiamo separatamente il segno di numeratore e denominatore ponendone il segno >0.

    e^{x^2}-3>0

    si può riscrivere come

    e^{x^2}>3

    cioè

    x^2>\ln{(3)}

    cioè

    x\in \left(-\infty,-\sqrt{\ln{(3)}}\right)\cup\left(+\sqrt{\ln{(3)}},+\infty\right)

    Per quanto riguarda il denominatore

    \log_{\frac{1}{4}}{(x)}>0

    equivale a

    x\in (0,1)

    Quindi, studiando il segno complessivo nel grafico di disequazione con linee piene e linee tratteggiate, ricordandoci che il dominio della funzione è il semiasse dei reali positivi escluso +1, troviamo che l'intera frazione è negativa per

    A=(0,1)\cup(\sqrt{\ln{(3)}},+\infty)

    Quindi A è un insieme aperto e illimitato e i suoi punti di accumulazione sono \overline{A} cioè tutti i punti di A inclusi i suoi estremi finiti.

    Namasté!

    Risposta di Omega
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