Soluzioni
  • Ciao Jumpy, prima di tutto credo dovremmo supporre che i parametri a,b,c,d siano tali che

    c\neq 0

    a\cdot d\neq b\cdot c

    altrimenti avremmo delle rette! E' comunque tutto spiegato nel formulario sulle funzioni omografiche.

    Sotto queste ipotesi sui parametri la funzione omografica è un'iperbole equilatera con asintoti paralleli agli assi.

    Il centro di un'iperbole equilatera traslata è dato da C=(-d/c,\ a/c), sfruttando questo fatto otteniamo due equazioni:

    -\frac{d}{c}=2

    e

    \frac{a}{c} =-1

    Ora dobbiamo sfruttare la seconda ipotesi del problema, cioè che la funzione omografica passa per il punto (0,1). Basta sostituire nell'equazione le coordinate del punto al posto di x e y rispettivamente:

    y=\frac{ax+b}{cx+d}

    sostituendo

    1=\frac{b}{d}

    Ci manca la quarta condizione, perchè abbiamo quattro parametri da determinare: a,b,c,d. La quarta condizione la troviamo imponendo il passaggio per il simmetrico del punto B(0;1) rispetto al centro della funzione omografica C(2;-1). Questo punto è D(-2;3).

    Quindi hai l'equazione aggiuntiva

    3=\frac{-2a+b}{-2c+d}

    Ora basta risolvere il sistema costituito dalle quattro equazioni e trovare i parametri a,b,c,d, che devono anche soddisfare le condizioni

    c\neq 0

    a\cdot d \neq b\cdot c.

     

    Trova il punto T imponendo y=0 nell'equazione della funzione omografica (y=0 è l'asse delle x).

    Ora devi trovare la retta tangente: scrivi l'equazione della retta in forma generica y=mx+q, imponi la condizione di passaggio per il punto T e poi la condizione di tangenza. Dunque avrai un sistema con l'equazione della funzione omografica (che ha coefficienti specifici) e la retta, che ha coefficienti generici (i parametri m e q).

     

    Arriverai ad avere un'equazione di secondo grado, in cui devi richiedere che il discriminante sia nullo (il che significa: due soluzioni coincidenti, ovvero condizione di tangenza).

     

    Prendi l'equazione data dal determinante uguale a zero e l'equazione che deriva dalla condizione di passaggio della retta tangente per il punto T. Hai così la retta tangente!

     

    Ora trovi il punto di intersezione della retta tangente con l'asse delle ordinate (x=0). Questo è il vertice della parabola. Scrivi l'equazione della parabola in forma generica: dato che ha asse parallelo all'asse delle y, sarà della forma y=Ax^2+Bx+C. Devi richiedere il passaggio per T, che il vertice sia il punto di interrsezione della tangente con l'asse delle ordinate, e il passaggio per il simmetrico del punto T rispetto alla retta passante per il vertice (l'asse di simmetria della parabola, avente quindi equazione x=ascissa del vertice). tre condizioni per tre parametri A,B,C.

     

    Ora metti a sistema l'equazione della parabola e l'equazione della funzione omografica. Trovi così le intersezioni. Hai finito!

     

    Prova e facci sapere se c'è qualcosa che non va, siamo a disposizione!

    Namasté - Agente Ω

    Risposta di Omega
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