Esercizio su relazioni di equivalenza, d'ordine e diagramma di Hasse
Salve ho un esercizio complicato sulla verifica per relazioni di equivalenza, sulle relazioni d'ordine e sui diagrammi di Hasse. Spero come sempre in un vostro aiuto, grazie mille!
Siano 
, 
, e sia 
l’insieme di tutte le applicazioni 
. Considerate le applicazione biettive:
e 
.
Definire in X le seguenti relazioni:
, per ogni 
.
1) Verificare che R è una relazione di equivalenza. Quante sono e da quali applicazioni sono costituite le relative classi di equivalenza?
2) Verificare che ∑ è una relazione d ordine, non totale, e disegnare il diagramma di Hasse di (X,∑). Dire perchè (X,∑) è un reticolo limitato e complementato.
Tentativo di svolgimento:
1) Allora ho dimostrato che la relazione è di equivalenza ma le classi di equivalenza quali sono?
2) Ho dimostrato che è una relazione d'ordine, ma come dimostro che non è totale?
E poi, per il diagramma di Hasse quali sono gli elementi da considerare? Io ho preso f(a)=1, f(b)=1, f(a)=2, f(b)=2 e ho fatto le quattro combinazioni...ma non penso si faccia così.
Potreste aiutarmi per favore?
Cara, potevi farlo direttamente sulla tua domanda precedente, grazie mille per l'attenzione. Arrivo a risponderti!
Risposta di Alpha
scusami,pensavo dovevo aprirne una nuova...
Risposta di Giulialg88
In effetti il problema è abbastanza misterioso...proviamo a essere più rigorosi possibile:
Dati due insiemi A e B una corrispondenza tra A e B è un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB, cioè per ogni elemento in a, dobbiamo trovare un elemento corrispondente in B.
Chiamiamo f questa applicazione, si dice iniettiva se
implica
per ogni a1, a2 in A.
Si dice suriettiva se
Ora, a rischio di ripetermi, stiamo cercando applicazioni da S a T tali che
e per cui
implichi
per ogni due elementi di S.
In sostanza, come richiesto dall'esercizio vogliamo studiare le funzioni biunivoche da S in T. Non abbiamo molta scelta, poiché |S|=|T|=2. Definiamo le segunti applicazioni:
Queste applicazioni sono iniettive per come sono state definite e anche chiaramente suriettive. Non mi sembra possibile trovarne altre, a meno che siano proprio coincidenti con queste.
Dunque le classi di equivalenza rispetto all'uguaglianza sono date proprio dalle due funzioni f e g.
Cioè tra tutte le possibili funzioni biunivoche tra S e T abbiamo una classe data dalle funzione che mandano a in 1 e b in 2, e una seconda classe data invece dalle funzioni che mappano a in 2 e b in 1.
(mandare, mappare,...sono tutti sinonimi!)
Per quanto riguarda la relazione d'ordine, mi sembra evidente che lo sia, poiché lo è anche sui naturali. Ora fai attenzione, la relazione è su X che è l'insieme di tutte le possibili applicazioni, non solo di quelle biunivoche! Giusto? In questo caso, (X,∑) è sicuramente un reticolo, perché ogni coppia di funzioni in X darà delle immagini in T e potremo confrontare sempre i valori di tali immagini.
Abbiamo visto che le possibili classi di funzioni non sono molte, ne abbiamo due definite in questo modo:
oltre alle due funzioni biunivoche di cui abbiamo parlato prima.
Corretto?
Risposta di Alpha
ma perchè non è totale? e come disegno Hasse?
Risposta di Giulialg88
Arrivo arrivo, volevo solo sapere se fino a qui ti torna tutto quello che ho scritto! 
Risposta di Alpha
Per il digramma di Hasse procedi in questo modo: tra le funzioni quella che associa ad a e b i valori più piccolo possibili è
Quindi questa funzione sarà il vertice più basso del diagramma di Hasse. Esattamente sopra a questa ci saranno le due mappe iniettive e suriettive f e g.
La più grande è l(s), come l'abbiamo definita nella risposta precedente. La limitatezza del reticolo è evidente.
Il fatto che sia complementato si evince dalla definizione di reticolo complementato. Sappiamo che è possibile definire due operazioni binarie sui reticoli:
Nel nostro caso il reticolo ha elemento massimo l(s) e come elememnto minimo h(s). L'elemento x in X è complemento di y se
e
cosa che accade per come abbiamo definito il reticolo, si vede dal diagramma di Hasse che ti ho descritto prima.
La totalità è espressa dalla seguente relazione:
Questo non accade con la nostra relazione!
Risposta di Alpha
non ho capito perchè non è totale,potresti spoegarmi meglio per favore?
Risposta di Giulialg88
La totalità consta sostanzialmente nella confrontabilità, ma le due funzioni biunivoche non sono confrontabili, prima con f e g intendevo proprio loro, infatti
ma
queste due coppie non sono confrontabili, dunque la relazione sebbene, sia antisimmetrica riflessiva e transitiva, non è d'ordine totale!
Risposta di Alpha
chiaro =D
Risposta di Giulialg88