Soluzioni
  • Cara, potevi farlo direttamente sulla tua domanda precedente, grazie mille per l'attenzione. Arrivo a risponderti!

    Risposta di Alpha
  • scusami,pensavo dovevo aprirne una nuova...

    Risposta di Giulialg88
  • In effetti il problema è abbastanza misterioso...proviamo a essere più rigorosi possibile:

     

    Dati due insiemi A e B una corrispondenza tra A e B è un qualsiasi sottoinsieme del prodotto cartesiano AxB, cioè per ogni elemento in a, dobbiamo trovare un elemento corrispondente in B.

     

    Chiamiamo f questa applicazione, si dice iniettiva se

     

    f(a_1)=f(a_2)

     

    implica

     

    a_1=a_2

     

    per ogni a1, a2 in A.

     

    Si dice suriettiva se

     

    f(A)=B

     

    Ora, a rischio di ripetermi, stiamo cercando applicazioni da S a T tali che

     

    f(S)=T

     

    e per cui

     

    f(s_1)=f(s_2)

     

    implichi

     

    s_1=s_2

     

    per ogni due elementi di S.

     

    In sostanza, come richiesto dall'esercizio vogliamo studiare le funzioni biunivoche da S in T. Non abbiamo molta scelta, poiché |S|=|T|=2. Definiamo le segunti applicazioni:

     

    f(s)=\left\{\begin{matrix}1 & s=a\\2 & s=b\end{matrix}

     

    g(s)=\left\{\begin{matrix}2 & s=a\\1 & s=b\end{matrix}

     

    Queste applicazioni sono iniettive per come sono state definite e anche chiaramente suriettive. Non mi sembra possibile trovarne altre, a meno che siano proprio coincidenti con queste.

     

    Dunque le classi di equivalenza rispetto all'uguaglianza sono date proprio dalle due funzioni f e g.

    Cioè tra tutte le possibili funzioni biunivoche tra S e T abbiamo una classe data dalle funzione che mandano a in 1 e b in 2, e una seconda classe data invece dalle funzioni che mappano a in 2 e b in 1.

    (mandare, mappare,...sono tutti sinonimi!)

    Per quanto riguarda la relazione d'ordine, mi sembra evidente che lo sia, poiché lo è anche sui naturali. Ora fai attenzione, la relazione è su X che è l'insieme di tutte le possibili applicazioni, non solo di quelle biunivoche! Giusto? In questo caso, (X,∑) è sicuramente un reticolo, perché ogni coppia di funzioni in X darà delle immagini in T e potremo confrontare sempre i valori di tali immagini.

    Abbiamo visto che le possibili classi di funzioni non sono molte, ne abbiamo due definite in questo modo:

     

    h(s)=\left\{\begin{matrix}1 & s=a\\1 & s=b\end{matrix}

     

    l(s)=\left\{\begin{matrix}2 & s=a\\2 & s=b\end{matrix}

     

    oltre alle due funzioni biunivoche di cui abbiamo parlato prima.

    Corretto?

    Risposta di Alpha
  • ma perchè non è totale?  e come disegno Hasse?

    Risposta di Giulialg88
  • Arrivo arrivo, volevo solo sapere se fino a qui ti torna tutto quello che ho scritto! Wink

    Risposta di Alpha
  • Per il digramma di Hasse procedi in questo modo: tra le funzioni quella che associa ad a e b i valori più piccolo possibili è

     

    h(s)=\left\{\begin{matrix}1 & s=a\\1 & s=b\end{matrix}

     

    Quindi questa funzione sarà il vertice più basso del diagramma di Hasse. Esattamente sopra a questa ci saranno le due mappe iniettive e suriettive f e g.

     

    La più grande è l(s), come l'abbiamo definita nella risposta precedente. La limitatezza del reticolo è evidente.

    Il fatto che sia complementato si evince dalla definizione di reticolo complementato. Sappiamo che è possibile definire due operazioni binarie sui reticoli:

     

    \vee\colon x\vee y=\sup\{x,y\}

     

    \wedge\colon x\wedge y=\inf\{x,y\}

     

    Nel nostro caso il reticolo ha elemento massimo l(s) e come elememnto minimo h(s). L'elemento x in X è complemento di y se

     

    x\vee y=l(s)

    e

    x\wedge y=h(s)

     

    cosa che accade per come abbiamo definito il reticolo, si vede dal diagramma di Hasse che ti ho descritto prima.

    La totalità è espressa dalla seguente relazione:

     

    f\Sigma g\vee g\Sigma f

     

    Questo non accade con la nostra relazione!

     

    Risposta di Alpha
  • non ho capito perchè non è totale,potresti spoegarmi meglio per favore?

     

    Risposta di Giulialg88
  • La totalità consta sostanzialmente nella confrontabilità, ma le due funzioni biunivoche non sono confrontabili, prima con f e g intendevo proprio loro, infatti

     

    f(a)=1\leq g(a)=2

     

    ma

     

    f(b)=2\not\leq g(b)=1

     

    queste due coppie non sono confrontabili, dunque la relazione sebbene, sia antisimmetrica riflessiva e transitiva, non è d'ordine totale!

    Risposta di Alpha
  • chiaro =D 

    Risposta di Giulialg88
 
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